- Содержимое по тегу: Гаусса теорема

kalser.ru Электричество и магнетизм Содержимое по тегу: Гаусса теорема
17.11.2012 12:18

2.93

Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плотностью <...> Найти:

а) модуль напряженности электрического поля как функию расстояния от центра шара.

б) объемную и поверхностную плотности связанных зарядов

Решение:

По теореме Гаусса для вектора D:

1) r \leq R => 4 \pi r^2 D = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho D=\frac{\rho r}{3} для выражения напряженности получаем E(r) = \frac{D}{\epsilon \epsilon_0} = \frac{\rho}{3\epsilon \epsilon_0}r

2) r \geqslant R => 4 \pi r^2 D = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho D=\frac{\rho R^3}{3r^2} по аналогии E(r) = \frac{\rho R^3}{3 \epsilon_0 r^2}


б) Так как \sigma' = P_n,  \! \: \, P_n = \kappa \epsilon_0 \! \: \, , \kappa = \epsilon - 1 \! \: \, => E_n = (\epsilon - 1) \not{\epsilon_0} \cdot \frac{\rho R}{3 \epsilon \not{\epsilon_0} }

\sigma' = \frac{(\epsilon - 1) \rho R}{3 \epsilon} так как \rho' = - \vec{\bigtriangledown} \cdot \vec{P} = - \kappa \epsilon_0 \vec{\bigtriangledown} \cdot \vec{E} = (1- \epsilon) \cdot (\rho + \rho'), где \epsilon_0 \vec{\bigtriangledown} \vec{E} = \rho +\rho'

\rho' = \frac{1 - \epsilon}{\epsilon} \rho

Ответ: E(r) = \left\{\begin{matrix}
& \frac{\rho}{3\epsilon \epsilon_0}r, \! \: \, r \leq R \\
& \\
& \frac{\rho R^3}{3 \epsilon_0 r^2}, \! \: \, r \geqslant R

\end{matrix}\right. \sigma' = \frac{(\epsilon - 1) \rho R}{3 \epsilon} \rho' = \frac{1 - \epsilon}{\epsilon} \rho

17.11.2012 04:51

2.58

Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только от расстояния до его центра <...> Найти распределение объемного заряда внутри шара \rho(r)-? .

Решение:

E= - \frac{\partial \phi}{\partial r} = - 2 a r

По теореме Гаусса поток, пронизывающий сферу:

4 \pi r^2 E = \frac{q}{\epsilon_0}

Выделим малый элемент поверхности сферы dr, тогда 4 \pi \cdot d (r^2 E) = \frac{1}{\epsilon_0} dq \equiv \frac{1}{\epsilon_0} \rho 4 \pi r^2 dr

r^2 dE + 2rE \cdot dr = \frac{1}{\epsilon_0} \rho r^2 \cdot dr => \frac{\partial E}{\partial r} + \frac{2}{r} E = \frac{\rho}{\epsilon_0}

(-2 ar)'_r + \frac{2}{r} (-2ar) = \frac{\rho}{\epsilon_0}

-2a - 4a = \frac{\rho}{\epsilon_0} => \rho = - 6 \epsilon_0 a

Ответ: \rho = - 6 \epsilon_0 a

10.11.2012 12:40

2.28

Грани полого куба заряжены равномерно...

Решение:

а)228_ir по теореме Гаусса 6 a^2 E = \frac{q'}{\epsilon_0} = \frac{\sigma a^2}{\epsilon_0}, где a - ребро куба.

E=\frac{\sigma}{6 \epsilon_0} => F=qE=\frac{1}{6} \frac{q \sigma}{\epsilon_0}

Ответ:F=\frac{1}{6} \frac{q \sigma}{\epsilon_0}

б) E \cdot 2l^2 = \frac{\sigma l^2}{\epsilon_0} => E=\frac{\sigma}{2 \epsilon_0} F=qE= \sigma l^2 \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} = \frac{\sigma^2 l^2}{2 \epsilon_0}

Ответ: F=\frac{\sigma^2 l^2}{2 \epsilon_0}

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]