- Содержимое по тегу: уравнение Лагранжа

kalser.ru Электричество и магнетизм Содержимое по тегу: уравнение Лагранжа

harm_osc_01Лагранжиан одномерный гармонического осциллятора L= \frac{m \dot{x}^2}{2} - \frac{kx^2}{2} H= \frac{p^2}{2m} + \frac{kx^2}{2} = E_0 = const \frac{p^2}{2mE} + \frac{x^2}{\frac{2E_0}{k}} = 1 - уравнение эллипса <=>  \frac{p^2}{b^2} + \frac{x^2}{a^2} = 1

Фазовый "портрет" одномерного гармонического осциллятора:

harm_osc_02

Покажем, что гамильтониан H есть интеграл движения:

\frac{dH}{dt} = \frac{ \partial H}{ \partial t} + \left \{ H, H  \right \} = 0 + \frac{\partial H}{ \partial p} \frac{\partial H}{ \partial x} - \frac{\partial H}{ \partial x} \frac{\partial H}{ \partial p} = 0 ч.т.д.

Здесь за  \left \{ H, H  \right \} принято обозначение скобки Пуассона.

Опубликовано в Теоретическая механика

Показать, что функция f(x, p, t) = x - \frac{pt}{m} есть интеграл движения для свободной материальной точки массы m.

В решении будем применять сокращение в виде скобки Пуассона \left \{ H,f  \right \} = \frac{ \partial H}{\partial p} \frac{ \partial f}{\partial x} - \frac{\partial H}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial p}

H = \frac{p^2}{2m} Необходимо показать, что \frac{df}{dt} \equiv 0 \frac{df}{dt} = - \frac{p}{m}

\left \{ H,f  \right \} = \frac{ \partial H}{\partial p} \frac{  \partial f}{\partial x} - \frac{\partial H}{\partial x} \frac{\partial  f}{\partial p} = \frac{p}{m} \cdot 1 - 0 то есть \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{ \partial t} + \left \{ H,f  \right \} =  - \frac{p}{m} + \frac{p}{m} = 0 \bigoplus ч.т.д.

Далее x - \frac{pt}{m} = x_0 x = x_0 + \frac{pt}{m} = x_0 + \frac{p_0 t}{m} = x_0 + \dot{x_0} t - закон равномерного движения, \dot{p} = \frac{\partial H}{\partial x} = 0 \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} x_0 = f = const

Опубликовано в Теоретическая механика

Найти гамильтониан движения заряда в постоянном и однородном магнитных полях E и H.

Лагранжиан L = \frac{mv^2}{2} + \frac{e}{c} ( \vec{A}, \vec{v} ) - e \phi, где с - скорость света, е - заряд, вектор-потенциал \vec{A} = \frac{1}{2} [ \vec{H}, \vec{r}], \vec{H} = rot \vec{A} = const, E = - grad \phi

\vec{p} = \frac{ \partial L}{ \partial \vec{v}} = m \vec{v} + \frac{e}{c} \vec{A}  \vec{v} = \frac{1}{m} ( \vec{p} - \frac{e}{c} \vec{A}) H = (\vec{p}, \vec{v}) - L = ( \vec{p}, \vec{p} - \frac{e}{c} \vec{A}) \frac{1}{m} - \frac{m}{2} \frac{1}{m^2} \left (  \vec{p} - \frac{e}{c} \vec{A} \right )^2 - \frac{e}{mc} \left ( \vec{A}, \vec{p} - \frac{e}{c} \vec{A} \right ) +

 + e \phi = \frac{1}{2m} \left ( \vec{p} - \frac{e}{c} \vec{A} \right )^2 + e \phi

Ответ: H = \frac{1}{2m} \left ( \vec{p} - \frac{e}{c} \vec{A} \right )^2 + e \phi{

Опубликовано в Теоретическая механика

Найти функцию Лагранжа, если известен гамильтониан H = \frac{\vec{p}^2}{2m} - (\vec{p}, \vec{a}), где а - константа \vec{a} = const

L= \sum^s_{i=1} p_i \dot{q}_i - H (p,q) \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}

Пусть \dot{q}_i = \vec{v} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{\vec{p}}{m} - \vec{a} или \dot{x} = \frac{\partail H}{\partial P_x} = \frac{P_x}{m} - a_x =>  \vec{p} =( \vec{v} + \vec{a}) m ; p_x = (\dot{x} + ax) m

L=(\vec{p}, \vec{v}) - H = m (\vec{v} + \vec{a}, \vec{v}) - \frac{1}{2m} m^2 ( \vec{v} + \vec{a}, \vec{v} + \vec{a}) + m (\vec{v} + \vec{a}, \vec{a}) =

 = m (\vec{v} + \vec{a}, \vec{v} + \vec{a}) - \frac{1}{2} m ( \vec{v} + \vec{a})^2 = \frac{m}{2} (\vec{v} + \vec{a})^2

Ответ: L = \frac{m}{2} (\vec{v} + \vec{a})^2

Опубликовано в Теоретическая механика

Найти функцию Гамильтона, если функция Лагранжа L= \frac{m v^2}{2} - U(r)

P_x = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m \dot{x} P_y = \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = m \dot{y} P_z = m \dot{z}

\vec{P} = \frac{\partial L}{\partial \dot{ \vec{v}}} = m \vec{v} \vec{v} = \frac{1}{m} \vec{P} , \dot{x} = \frac{1}{m} P_x

Для гамильтониана мы можем записать H(P,r) = P_x \dot{x} + P_y \dot{y} + P_z \dot{z} - \frac{m}{2} \vec{v}^2 + U(r) = 

= ( \vec{P}, \vec{v}) - \frac{m}{2} \vec{v}^2 + U(r) = ( \vec{P}, \vec{P}) \frac{1}{m} - \frac{m}{2} \frac{\vec{P}^2}{m^2} + U(r) =

 = \frac{\vec{P}^2}{2m} + U(r) => \frac{m v^2}{2} + U(r) = E = const

Опубликовано в Теоретическая механика

Решение задачи из Сб. задач по классической механике авт. Коткин, Сербо Номер 5.1

\omega-?

U(x) = U_0 cos ( \alpha x) - Fx, при этом U_0, \alpha, F являются константами.

U'(x) = - \alpha U_0 sin ( \alpha x) - F =0 => sin (\alpha x) = - \frac{F}{2U_0} \begin{vmatrix}
 \frac{F}{\alpha U_0}
\end{vmatrix} \leqslant 1

U''(x)|_{x_0} = - \alpha^2 U_0 cos (\alpha x_0) > 0 = - \alpha^2 U_0 \sqrt{1 - \frac{F^2}{\alpha^2 U_0^2}}

k = |U''(x_0)| = \alpha U_0^2 \sqrt{1 - \frac{F^2}{\alpha^2 U_0^2}}

Ответ: \omega = \frac{\alpha^2 U_0}{m} \sqrt{1 - \frac{F^2}{\alpha^2 U_0^2}}

Опубликовано в Теоретическая механика

Решение задачи из Сб. задач Ольховского по теоретической механике для физиков. Номер 6.09

На концах трубы находятся заряды Q, найти частоту малых колебаний \omega

Решение:

olh611

sign(lQ) > 0 - только в этом случае будут возможны колебания.

Лагранжиан системы L = \frac{m \dot{x^2}}{2} - U_1(x)- U_2(x)

U_1+U_2= \frac{lQ}{a-x} + \frac{lQ}{a+x} = lQ \left (  \frac{1}{a-x} + \frac{1}{a+x}  \right ) = lQ \left (  \frac{2a}{a^2-x^2}  \right )

U'(x) =lQ \left (  - \frac{-2x}{(a^2-x^2)^2}  \right ) 2a = 0 => x = 0 U''(x)|_{x=0} =2alQ \frac{2(a^2-x^2) - 4x(a^2-x^2)(-2x)}{(a^2-x^2)^4} =

=4alQ \frac{a^2-x^2 + 4x^2}{(a^2-x^2)^3}|_{x=0} = \frac{4lQ}{a^3}

Таким образом, для частоты малых колебаний зарядов мы получаем: \omega^2 = \frac{k}{m} = \frac{4lQ}{a^3} > 0, если lQ>0

Второй способ, по формуле Тейлора:

U(x)=2alQ \frac{1}{a^2-x^2} \approx \frac{2alQ}{a^2}(1 + \frac{x^2}{a^2}) \approx  \frac{2lQ}{a^3} x^2 \equiv \frac{kx^2}{2} k = \frac{4lQ}{a^3}

Опубликовано в Теоретическая механика

Решение задачи из Сб. задач Ольховского по теоретической механике для физиков. Номер 5.51

Для данной системы число степеней свободы S = 3N - (число связей) => S = 6, при этом саму пружину в качестве связи мы не рассматриваем.

olh551В качестве обобщенных координат q_1;q_2 можно выбрать радиусы векторы \vec{r_1}, \vec{r_2} (см. рисунок к задаче)

При подобном выборе обобщенных координат лагранжиан системы будет выражен в декартовых координатах:

L=T-U= \frac{m_1 (\vec{\dot{r_1}})^2}{2} + \frac{m_2 (\vec{\dot{r_2}})^2}{2} -  \frac{k}{2}(|\vec{r_2}-\vec{r_1}| -l_0)^2 - m_1(\vec{g},\vec{r_1}) - m_2(\vec{g},\vec{r_2})

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{r_i}} - \frac{\partial L}{\partial r_i} = 0

(q_1,q_2)=(\vec{r_1}, \vec{r_2}) \to (\vec{R}, \vec{r}) здесь \vec{R} - радиус-вектор центра масс:

\vec{R} = \frac{m_1 \vec{r_1}+m_2 \vec{r_2}}{m_1m_2} , \vec{r} = \vec{r_2} - \vec{r_1}

\left\{\begin{matrix} \vec{r_1} =\vec{R} + \vec{r_1'} &  & \\ \vec{r_2} =\vec{R} + \vec{r_2'} &  & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} m_1 \vec{r'_1} + m_2 \vec{r'_2} = 0 &  & \\ \vec{r} =\vec{r_2}-\vec{r_1} = \vec{r'_2}-\vec{r'_1} &  & \end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix} \vec{r'_1} = - \frac{m_2}{m_1+m_2} \vec{r} &   & \\ \vec{r'_2} =  \frac{m_1}{m_1+m_2} \vec{r} &   & \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} \vec{r'_1} = \vec{R} - \frac{m_2}{m_1+m_2} \vec{r} &   & \\ \vec{r'_2} = \vec{R} + \frac{m_1}{m_1+m_2} \vec{r} &   & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} \dot{\vec{r'_1}} = \dot{\vec{R}} - \frac{m_2}{m_1+m_2} \dot{\vec{r}} &   & \\ \dot{\vec{r'_2}} = \dot{\vec{R}} + \frac{m_1}{m_1+m_2} \dot{\vec{r}} &   & \end{matrix}\right.

Таким образом, лагранжиан для данной системы:

L = \frac{m_1+m_2}{2} \dot{\vec{R^2}} + \left (  \frac{m_1}{2} \frac{m^2_2}{(m_1+m_2)^2} + \frac{m_2}{2} \frac{m^2_1}{(m_1+m_2)^2}  \right ) \cdot \vec{\dot{r^2}} - \frac{k}{2} (|\vec{r}| - l_0)^2 - (m_1+m_2) (\vec{g}, \vec{R})

Приведенная масса системы в этом уравнении обозначена как \mu\frac{1}{2} \mu = \left (  \frac{m_1}{2} \frac{m^2_2}{(m_1+m_2)^2} + \frac{m_2}{2} \frac{m^2_1}{(m_1+m_2)^2}  \right ) \cdot \vec{\dot{r^2}}

Запишем уравнение Лагранжа \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{R}} - \frac{\partial L}{\partial R} = 0

(m_1+m_2) \ddot{R} + (m_1+m_2) \vec{g} = 0

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} - \frac{\partial L}{\partial r} = 0olh551_2

При этом \frac{\partial L}{\partial \vec{r}} = \frac{\partial L}{\partial |r|} \frac{\partial |\vec{r}|}{\partial \vec{r}} , \vec{n}_r = \frac{\partial |\vec{r}|}{\partial \vec{r}} - задает направление, систему можно представить аналогией, представленной на рисунке, таким образом:

\mu \ddot{\vec{r}} + k (|r| - l_0) \vec{n}_r = 0


Опубликовано в Теоретическая механика

Решение задачи из Сб. задач Ольховского по теоретической механике для физиков. Номер 5.40

Для данной системы имеем N = 2 точек => число степеней свободы S = 3N - (число связей) => S = 2

olh540

\left\{\begin{matrix}
\vec{r_1} =(0,y_1,0) &  & \\ 
\vec{r_2} =(x_2,y_2,0) &  & 
\end{matrix}\right. производим выбор обобщенных координат q1 и q2:

q_1=y_1=y q_2 = \phi

Запишем функцию Лагранжа в декартовых координатах:

L=T-U= \frac{m_1 (\vec{\dot{r_1}})^2}{2} + \frac{m_2 (\vec{\dot{r_2}})^2}{2} - \left ( \frac{k}{2}(y+l_0)^2+m_1gy_1+m_2gy_2 \right )=

\left\{\begin{matrix}
\vec{\dot{r_1}} =(0,\dot{y_1},0) &  & \\ 
\vec{\dot{r_2}} =(\dot{x_2},\dot{y_2},0) &  & 
\end{matrix}\right.

=\frac{m_1}{2} \dot{y_1}^2 + \frac{m_2}{2} (\dot{x_2}^2 + \dot{y_2}^2) -  \frac{k}{2}(y+l_0)^2 - m_1gy_1 - m_2gy_2

Связь между декартовыми и обобщенными координатами:

\vec{r_i} = \vec{r_i}(y, \phi) \left\{\begin{matrix}
x_2=l sin \phi &  & \\ 
y_2=y+l cos \phi &  & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}
\dot{x_2}=l \dot{\phi} cos \phi &  & \\ 
\dot{y_2}=\dot{y}-l \dot{\phi} sin \phi &  & 
\end{matrix}\right.

L= \underset{|------------T-------------|}{\frac{m_1}{2} \dot{y}^2 + \frac{m_2}{2} (l^2 \dot{\phi}^2 + \dot{y}^2 - 2 \dot{y} \dot{\phi} l sin \phi}) - \frac{k}{2}(y+l_0)^2 - m_1gy_1 - m_2gy_2

После сокращений, для функции Лагранжа, получаем:

L = \frac{m_1+m_2}{2} \dot{y}^2 + \frac{m_2}{2} l^2 \dot{\phi}^2 - m_2 \dot{\phi} \dot{y} l sin \phi - \frac{k}{2}(y+l_0)^2 - (m_1+m_2)gy - m_2gl cos \phi

Уравнение Лагранжа по координате y:

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} - \frac{\partial L}{\partial y} = 0 P_y = \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = (m_1+m_2) \dot{y} - m_2 \dot{\phi} l sin \phi \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = (m_1+m_2) \ddot{y} - m_2 \ddot{\phi} l sin \phi - m_2 \dot{\phi}^2 l cos \phi

\frac{\partial L}{\partial y} = -k (y+l_0) - (m_1+m_2)y

Собирая все слагаемые вместе, в итоге получаем выражение для функции Лагранжа:

(m_1+m_2) \ddot{y} - m_2 \ddot{\phi} l sin \phi - m_2 \dot{\phi} l cos \phi + k(y+l_0) + (m_1+m_2)g = 0

Уравнение Лагранжа по координате \phi:

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} - \frac{\partial L}{\partial \phi} = 0
P_{\phi} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = m_2 \dot{\phi} l^2 - m_2 \dot{y} l sin \phi

m_2 \ddot{\phi}l - m_2 \ddot{y} l sin \phi - m_2 \dot{y} \dot{\phi} l cos \phi - m_2 \dot{y} \dot{\phi} l cos \phi + m_2 g l sin \phi = 0

Если \phi не изменяется, тогда:

(m_1+m_2) \ddot{y} + k (y+l_0) - (m_1+m_2)y=0, то есть в колебаниях участвует общая масса m_1+m_2

Опубликовано в Теоретическая механика

Решение задачи из Сб. задач Ольховского по теоретической механике для физиков. Номер 6.09

Потенциал взаимодействия двух атомов массой m1 и m2 равен U(r)=U_0 e^{-2a(r-r_0)}-2U_0 e^{-a(r-r_0)}

U_0, a,r_0 - константы.

Задача на минимум потенциала. Найдем минимумolh69_01 U(r)

U'(r)=-U_0 2ae^{-2a(r-r_0)}+2U_0ae^{-a(r-r_0)}=0

2U_0ae^{-a(r-r_0)} \left (  -e^{-a(r-r_0)} +1  \right ) = 0 в точке r=r_0 - экстремум функции U(r):

U''(r)|_{r_0} = 4a^2U_0e^{-2a(r-r_0)} - 2U_0 a^2 e^{-a(r-r_0)}|_{r_0} =olh69_02

 = 4a^2U_0-2a^2U_0=2a^2U_0>0 Если U_0>r_0

в точке r=r_0 - минимум =>

=> k=2a^2U_0 C учетом уравнения Лагранжа \mu \ddot{r} + kr=0 получаем \omega^2 = \frac{2a^2U_0}{\mu}

L=T-U=\frac{m_1 \dot{r_1}^2}{2} + \frac{m_2 \dot{r_2}^2}{2} - U(r) = \frac{m_1+m_2}{2} \dot{r}^2_m - U(r) + \frac{1}{2} \mu \dot{r}^2

U(r_0) = U_0 - 2U_0 = - U_0

Опубликовано в Теоретическая механика
<< Первая < Предыдущая 1 2 Следующая > Последняя >>
Страница 1 из 2

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]