- Содержимое по тегу: кванты

kalser.ru Физика конденсированного состояния Содержимое по тегу: кванты

Найти волновую функцию \xi и энергетический спектр частицы E, находящейся в связанном состоянии в поле U(x).

kvanmech_01Решение:

U(x) = 0, x \geq a; -v_0, |x|<a; 0, x \leq a, E<0

Уравнение Шредингера -\frac{h^2}{2m} \frac{d^2 \xi}{dx^2} + U(x) \xi = E \xi

В силу того, что потенциал U(x) является симметричным, получаем:
U(x) = U(-x), поэтому будем отдельно искать четные и нечетные решения:

\xi^{(+)}(-x) = \xi^{(+)}(x) и \xi^{(-)}(-x) =  - \xi^{(+)}(x)

После подстановки выражения для потенциала в уравнение Шредингера, получаем:

1) \xi_I'' - \Omega^2 \xi_I = 0 для x \leq -a
2) \xi_{II}'' +n^2 \xi_{II} = 0 где n^2 = \frac{2mv_0}{h^2} - \Omega^2 для |x|<a
3) \xi_{III}'' - \Omega^2 \xi_{III} = 0 для x \geq a где -\Omega = \frac{2mE}{h^2}

Пренебрегаем уравнением 1 в силу симметричности потенциала U(x) поэтому:

\xi_{III}'' - \Omega^2 \xi_{III} = 0
\xi_{II}'' + Ñ^2 \xi_{II} = 0

или

\xi_{III} = Ae^{\Omega x} + Be^{-\Omega x}
\xi_{II} = C \cdot cos nx + D \cdot sin nx

Положим A = 0, из граничного условия следует, что |\xi(x)| \rightarrow x \rightarrow + \infty

Рассмотрим четные решения:

\xi_{III} = Be^{-\Omega x}
\xi_{II} = C \cdot cos nx

Условия сшивки \xi_{II} (a) = \xi_{III}(a)
\xi'_{II}(a)=\xi'_{III}(a)

Далее

\xi_{III}' = - \Omega Be^{-\Omega x}
\xi_{II}' = - C n \cdot sin nx

и для условий сшивки получаем:

Be^{-\Omega a} = C \cdot cos na
\Omega Be^{-\Omega a} = Cn \cdot sin na =>

B = \frac{C \cdot cos na}{e^{-\Omega a}}

- \Omega e^{-\Omega a} \cdot \frac{C \cdot cos na}{e^{-\Omega a}} = - Cn \cdot sin na =>
C(n \cdot sin na - \Omega \cdot cos na) = 0 => tg na = \frac{\Omega}{n} - трансцендентное уравнение:

tg na = \frac{\Omega}{n}

Рассмотрим нечетные решения:

\xi_{III} = B e^{- \Omega x}
\xi_{II} = D \cdot sin (nx)

и применим к ним, по аналогии, условия сшивки:

B e^{- \Omega a} = D sin (na)
- \Omega B e^{- \Omega a} = D n \cdot cos (na)

откуда получаем еще одно трансцендентное уравнение:

tg na =  - \frac{n}{\Omega}

kvanmech_02Найдем его решения. Выражая \Omega через n получаем:

tg na = - \frac{n}{\sqrt{\frac{2mv_0}{h^2} - n^2}}

tg na = - \frac{1}{\sqrt{\frac{2mv_0}{n^2 h^2} - 1}}

f_1 = tg na
f_2 = - \frac{1}{\sqrt{\frac{2mv_0}{n^2 h^2} - 1}}

f_2 \rightarrow - \infty в точке n = \sqrt{\frac{2mv_0}{h^2}}

n = 0, f_2=0

f_2 = -1, n=\pm \frac{h}{\sqrt{mv_0}}

Найти связь между током и напряженностью внешнего поля при туннелировании через потенциальный барьер.

смотреть решение

скачать

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]