- Содержимое по тегу: коткин сербо

kalser.ru Физика твердого тела Содержимое по тегу: коткин сербо

Решение задачи из Сб. задач по классической механике авт. Коткин, Сербо Номер 5.6

Найти поправку к частоте малых колебаний двухатомной молекулы, вызванную наличием у нее момента импульса \vec{L}

\Delta \omega = \omega - \omega_0 - ?

Решение:

ks56В начале потенциал взаимодействия двухатомной молекулы имел вид: U(r)= \frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2}k (r-r_0)^2 => U(r) = \frac{1}{2} \mu \omega_0^2 (r-r_0),

начальная частота малых колебаний \omega_0^2 = \frac{k}{\mu} , где \mu - приведенная масса системы. Минимум потенциальной энергии находится в точке r_0 => U(r_0) = min

ks56_1

Перейдем к задаче об одном теле, движущемся с эффективным потенциалом U_{eff}(r)= \frac{1}{2} \mu \omega_0^2 (r-r_0)^2 + \frac{L^2}{2 \mu r^2}

Пусть \frac{L^2}{2 \mu r^2} << \frac{1}{2} \mu \omega_0^2 (r-r_0)^2 => сдвиг r_0. Найдем точку устойчивого равновесия для эффективного потенциала. Первая производная:

U'_{eff} = \mu \omega_0^2 (r-r_0) - \frac{L^2}{\mu r^3} = 0 Решим это уравнение приближенно, то есть будем считать, что \delta r мал, тогда r^3 \approx r_0^3 => \delta r = r -r_0 = \frac{L^2}{\mu^2 \omega_0^2 r_0^3}

r'_0 - точка нового минимума. Разложение U_{eff} (r) в точке r_0 + \delta r = r'_0 дает:

U_{eff} (r) = [U_{eff} (r_0 + \delta r) = 0<=>const] + \frac{1}{2} \mu \omega^2 (r - r_0 - \delta r)^2 \omega^2 = \frac{k'}{\mu}

Для сравнения, находим U''_{eff} (r_0 + \delta r) = \mu \omega_0^2 + \frac{3 L^2}{\mu r_0^4}. Таким образом U_{eff} (r) = \frac{1}{2} U''_{eff} (r_0+ \delta r)(r-r_0 - \delta r)^2 = \frac{1}{2} \mu (\omega_0^2 + \frac{3L^2}{\mu^2 r_0^4})(r-r_0 - \delta r)^2 и мы можем записать для измененной частоты \omega^2 = \omega_0^2 + \frac{3L^2}{\mu^2 r_0^4} \equiv (\omega_0 + \Delta \omega)^2 = \omega_0^2 + 2 \omega_0 \Delta \omega + \Delta \omega^2, считая \ÐÑÐ´ÐµÑ \omega^2 = 0 получаем ответ:

\Delta \omega = \frac{3L^2}{2 \mu^2 r_0^4 \omega_0}

Дополнительно: \Delta \omega = \frac{3}{2} \left ( \frac{L^2}{ \mu^2 r_0^3 \omega_0^2  \right ) \cdot \frac{\omega_0}{r_0}} с учетом, что \left ( \frac{L^2}{ \mu^2 r_0^3 \omega_0^2}  \right ) = \delta r получаем \Delta \omega = \frac{3}{2} \frac{\delta r}{r_0} и \Delta \omega \sim \omega_0 \frac{\delta r}{r_0}

Опубликовано в Теоретическая механика

Решение задачи из Сб. задач по классической механике авт. Коткин, Сербо Номер 5.1

\omega-?

U(x) = U_0 cos ( \alpha x) - Fx, при этом U_0, \alpha, F являются константами.

U'(x) = - \alpha U_0 sin ( \alpha x) - F =0 => sin (\alpha x) = - \frac{F}{2U_0} \begin{vmatrix}
 \frac{F}{\alpha U_0}
\end{vmatrix} \leqslant 1

U''(x)|_{x_0} = - \alpha^2 U_0 cos (\alpha x_0) > 0 = - \alpha^2 U_0 \sqrt{1 - \frac{F^2}{\alpha^2 U_0^2}}

k = |U''(x_0)| = \alpha U_0^2 \sqrt{1 - \frac{F^2}{\alpha^2 U_0^2}}

Ответ: \omega = \frac{\alpha^2 U_0}{m} \sqrt{1 - \frac{F^2}{\alpha^2 U_0^2}}

Опубликовано в Теоретическая механика

Решение задачи из Сб. задач по классической механике авт. Коткин, Сербо Номер 2.11

Найти наименьшее расстояние, на которое сблизится частица, налетающая из бесконечности со скоростью v0 и прицельным параметром ρ0, на другую, которая покоится. Потенциал задан уравнением U = - \frac{\alpha}{r}

Решение:

Эффективный потенциал U_{eff} (r) = - \frac{\alpha}{r} + \frac{ L_0}{2mr^2} Рассмотрим схему взаимодействия частиц:

ks211_2

Найдем минимальное расстояние r_{min} и обозначим его на графике потенциала:

ks211

E = T+U>0 - необходимо найти точку наименьшего сближения. E = \frac{m \dot{r^2}}{2} + U_{eff}(r)

Точка поворота есть \dot{r} = 0 => \frac{dr}{dt} = 0 <-- r=r(t)

\vec{v^2} = \dot{r^2} + r^2 \omega^2 T = \frac{m_1}{2} \vec{v^2_1} + \frac{m_2}{2} \vec{v^2_2} = \frac{M}{2} (\vec{v_1} - \vec{v_2})^2 + \frac{m_1+m_2}{2} \dot{R^2} - при введении системы центра масс, далее для энергии получаем:

E=\frac{M}{2} \vec{v^2_0} = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} \frac{1}{2}\vec{v^2_0} = -\frac{\alpha}{r} + \frac{L^2_0}{2 \mu r^2}

|\vec{L_0}| = |r|\cdot |\vec{v}| sin \phi = \rho_0 v_0 \mu подставляем в выражение для энергии:

E(r)=\frac{M}{2}v^2_0 = -\frac{\alpha}{r} + \frac{L^2_0}{2 \mu r^2} то есть корни уравнения -\frac{\alpha}{r} + \frac{L^2_0}{2 \mu r^2} = 0 и будут минимально возможными расстояниями r_1;r_2 <=> r_{min}

Опубликовано в Теоретическая механика

Решение задачи из Сб. задач по классической механике авт. Коткин, Сербо Номер 1.9

U(x) = \frac{m \omega^2}{2} x^2 (1) \delta U = \alpha \frac{m x^3}{3} (2) \alpha - мало. Найти x_0(t) - ?

Решение:

kotsebo1-9

m {\ddot{x}} =- \frac{dU}{dx} = - m \omega^2 x при этом {\ddot{x}} + m \omega^2 x = 0 - уравнение гармонических колебаний с решением x = a sin (\omega t)

E = T+U = \frac{m}{2} \dot{x^2} + \frac{m \omega^2 x^2}{2} \dot{x} = a \omega cos \omega t

пусть \omega t_1 = \frac{\pi}{2} =>  E = \frac{m \omega^2}{2} a^2 Подставляем в первый интеграл движения: \delta t(x_0) = \sqrt{\frac{m}{2}} \frac{1}{2} \int_a{\frac{\alpha \frac{m}{3}x_0 dx_0}{\left (\sqrt{\frac{m \omega^2}{2}a^2 - \frac{m \omega^2}{2}x^2_0}\right )^3}} = ...=

 = \frac{\alpha}{6 \omega^3} \int_a^x{\frac{x^2_0 dx^2_0}{\left (  a^2 -x^2_0  \right)^{\frac{3}{2}}}} => y = \sqrt{a^2 -x^2_0} => x^2_0 = a^2 - y^2 ; dx^2_0 = -2ydy Берем интеграл посредством указанной выше замены переменных:

-2 \int{\frac{(a^2 - y^2) y dy}{y^3}} = -2 \left (  a^2 \int{\frac{dy}{y^2}} - \int{dy}  \right ) =

 = -2a^2 \cdot \frac{1}{y} + 2y = \frac{\alpha}{3 \omega^3} \left( \frac{a^2}{\sqrt{a^2 - x^2_0}} + \sqrt{a^2 - x^2_0}  \right) |_0^x =

= \frac{\alpha}{3 \omega^3} \left( \frac{a^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} + \sqrt{a^2 - x^2} - 2a \right)

x = asin \omega t - a \omega cos \omega t \frac{\alpha}{3 \omega^3} \cdot (\frac{a}{cos \omega t} + a cos \omega t - 2a)

Применяя тригонометрическое тождество a sin \alpha + b cos \alpha = \sqrt{a^2 + b^2} sin (\alpha + \frac{b}{a}) окончательно получаем следующее выражение для закона движения:

x = - \frac{a^2 \alpha}{2 \omega^2} - \frac{a^2 \alpha}{6 \omega^2} cos 2 \omega t + \sqrt{a^2 + \frac{4a^2 \alpha^2}{9 \omega^4}} \cdot sin(\omega t+ \frac{2a \alpha}{3 \omega^2})


Ответ: x = - \frac{a^2 \alpha}{2 \omega^2} - \frac{a^2 \alpha}{6 \omega^2} cos 2 \omega t + \sqrt{a^2 + \frac{4a^4 \alpha^2}{9 \omega^4}} \cdot sin(\omega t+ \frac{2a \alpha}{3 \omega^2})

Опубликовано в Теоретическая механика

Решение задачи из Сб. задач по классической механике авт. Коткин, Сербо Номер 1.8

Определить изменение закона движения частицы на участке пути, не содержащем точек остановок, вызванное добавлением к полю U(x) малой добавки δU(x)

Решение:

x \in [a, b] В случае U(x) закон движения известен, в U(x) + δU(x) движение неизвестно.

коткин сербо 1 8, задачи по физике, теоретическая механика, термех, решение

Применим второй интеграл движения t = \sqr{\frac{m}{2} \int_a^x{\frac{dx}{\sqrt{E - U(x) - \delta U(x)}}}},

где х - переменная координата, а - точка начала движения.

x_0 t - закон движения в потенциале U(x)

x(t) - закон движения в потенциале U(x) + δU(x)

\delta x(t) = x(t) - x_0 (t) Разложим в ряд Тейлора по бесконечно малым величинам, определим x_0 как точку разложения:

y = \frac{1}{\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{x}} = f(x) = f(x_0) + \frac{df}{dx}(x - x_0) + ... = = \frac{1}{\sqrt{x_0}} + (-\frac{1}{2{x_0}^{\frac{3}{2}}})(x - x_0) + ... = \frac{1}{\sqrt{x_0}} - \frac{1}{2 \sqrt{{x_0}^3}(x-x_0)}

пусть x = x_0 + \Delta x \frac{1}{\sqrt{x_0 + \Delta x}} = \frac{1}{\sqrt{x_0}} - \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{{x_0}^3}} \Delta x (1)

Разложим время t с помощью формулы (1) t = \frac{m}{2} \int_a^x{\frac{dx}{\sqrt{E - U(x)}}} + \underset{|------- \delta t(x) -------|}{\frac{m}{2} \frac{1}{2} \int_a^x{\frac{\delta U dx}{\sqrt{(E-u(x))^3}}}}

t = t_0(x) + \delta t(x), где t_0(x) = \frac{m}{2} \int_a^x{\frac{dx}{\sqrt{E-U}}}

а) если бы \delta U(x) = 0 => t = t_0(x) => x = x_0(t)

б) пусть \delta U(x) \neq 0, тогда t_0(x)=t-\delta t(x)

totaskdelta

t - \delta t(x) = t_0 (x) => x = x_0 (t - \delta t(x)) \approx x_0 (t - \delta t(x_0)), т.к. x=x_0+\delta x

x=x_0 (t - \delta t(x_0)) \approx x_0 (t) + \frac{dx_0}{dt}|_t \cdot (-\delta t(x_0))

В итоге, мы получаем следующий ответ: \delta x(t) = - \delta t(x_0) \cdot {x'}_0(t)

Ответ: изменение закона движения частицы на участке пути \delta x(t) = - \delta t(x_0) \cdot {x'}_0(t)


Опубликовано в Теоретическая механика

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]

Понятия и термины из книг:

Ч. Китттель

"Введение в физику твердого тела", 1979 г.

Павлов П. В., Хохлов А. Ф.

"Физика твердого тела", 2001 г.

Н. Ашкрофт, Н. Мермин.

"Физика твердого тела" том 1, 2. 1979 г.