- Содержимое по тегу: точка остановки

kalser.ru Физика фундаментальных взаимодействий Содержимое по тегу: точка остановки

Решение задачи из Сб. задач по классической механике авт. Коткин, Сербо Номер 1.8

Определить изменение закона движения частицы на участке пути, не содержащем точек остановок, вызванное добавлением к полю U(x) малой добавки δU(x)

Решение:

x \in [a, b] В случае U(x) закон движения известен, в U(x) + δU(x) движение неизвестно.

коткин сербо 1 8, задачи по физике, теоретическая механика, термех, решение

Применим второй интеграл движения t = \sqr{\frac{m}{2} \int_a^x{\frac{dx}{\sqrt{E - U(x) - \delta U(x)}}}},

где х - переменная координата, а - точка начала движения.

x_0 t - закон движения в потенциале U(x)

x(t) - закон движения в потенциале U(x) + δU(x)

\delta x(t) = x(t) - x_0 (t) Разложим в ряд Тейлора по бесконечно малым величинам, определим x_0 как точку разложения:

y = \frac{1}{\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{x}} = f(x) = f(x_0) + \frac{df}{dx}(x - x_0) + ... = = \frac{1}{\sqrt{x_0}} + (-\frac{1}{2{x_0}^{\frac{3}{2}}})(x - x_0) + ... = \frac{1}{\sqrt{x_0}} - \frac{1}{2 \sqrt{{x_0}^3}(x-x_0)}

пусть x = x_0 + \Delta x \frac{1}{\sqrt{x_0 + \Delta x}} = \frac{1}{\sqrt{x_0}} - \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{{x_0}^3}} \Delta x (1)

Разложим время t с помощью формулы (1) t = \frac{m}{2} \int_a^x{\frac{dx}{\sqrt{E - U(x)}}} + \underset{|------- \delta t(x) -------|}{\frac{m}{2} \frac{1}{2} \int_a^x{\frac{\delta U dx}{\sqrt{(E-u(x))^3}}}}

t = t_0(x) + \delta t(x), где t_0(x) = \frac{m}{2} \int_a^x{\frac{dx}{\sqrt{E-U}}}

а) если бы \delta U(x) = 0 => t = t_0(x) => x = x_0(t)

б) пусть \delta U(x) \neq 0, тогда t_0(x)=t-\delta t(x)

totaskdelta

t - \delta t(x) = t_0 (x) => x = x_0 (t - \delta t(x)) \approx x_0 (t - \delta t(x_0)), т.к. x=x_0+\delta x

x=x_0 (t - \delta t(x_0)) \approx x_0 (t) + \frac{dx_0}{dt}|_t \cdot (-\delta t(x_0))

В итоге, мы получаем следующий ответ: \delta x(t) = - \delta t(x_0) \cdot {x'}_0(t)

Ответ: изменение закона движения частицы на участке пути \delta x(t) = - \delta t(x_0) \cdot {x'}_0(t)


Опубликовано в Теоретическая механика

Определить приближенно закон движения частицы в поле U(x) вблизи точки остановки x = a.

Решение:

E = \frac{m \dot{x}^2}{2} + U(x) => E - U(x) = 0 при x = a => \dot{x} = 0

теоретическая механика, решение задач по физике, определить закон движения частицы точка остановки

E = U(a) ; \dot{x} = 0

Разложим в ряд Тейлора выражение для потенциальной энергии частицы

x_a - значение координаты в точке остановки

U(x) = U(a) +  \frac{dU}{dx} (x_a - a) + ...

m \frac{d^2 x}{dt^2} = F = - \frac{dU}{dx}

\frac{dU}{dx} = \frac{d}{dx} (U(a) - F_0 (x-a)) = - F_0

F_0 = - \frac{dU}{dx} |_a

m \frac{d^2 x}{dt^2} = F_0

m \frac{d \dot{x}}{dt} = F_0 |_{dt}

\int{m d \dot{x}} = \int{F_0 dt} => m \dot{x} - m \dot{x}(0) = F_0 t

После вычислений получаем:

x(t) = x(0) + \dot{x}(0) + \frac{F_0}{2m}t^2

Ответ: приближенный закон движения частицы вблизи точки остановки x(t) = x(0) + \dot{x}(0) + \frac{F_0}{2m}t^2


Опубликовано в Теоретическая механика

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]