- Содержимое по тегу: механика Гамильтона

kalser.ru Школьная динамика Содержимое по тегу: механика Гамильтона

harm_osc_01Лагранжиан одномерный гармонического осциллятора L= \frac{m \dot{x}^2}{2} - \frac{kx^2}{2} H= \frac{p^2}{2m} + \frac{kx^2}{2} = E_0 = const \frac{p^2}{2mE} + \frac{x^2}{\frac{2E_0}{k}} = 1 - уравнение эллипса <=>  \frac{p^2}{b^2} + \frac{x^2}{a^2} = 1

Фазовый "портрет" одномерного гармонического осциллятора:

harm_osc_02

Покажем, что гамильтониан H есть интеграл движения:

\frac{dH}{dt} = \frac{ \partial H}{ \partial t} + \left \{ H, H  \right \} = 0 + \frac{\partial H}{ \partial p} \frac{\partial H}{ \partial x} - \frac{\partial H}{ \partial x} \frac{\partial H}{ \partial p} = 0 ч.т.д.

Здесь за  \left \{ H, H  \right \} принято обозначение скобки Пуассона.

Опубликовано в Теоретическая механика

Показать, что функция f(x, p, t) = x - \frac{pt}{m} есть интеграл движения для свободной материальной точки массы m.

В решении будем применять сокращение в виде скобки Пуассона \left \{ H,f  \right \} = \frac{ \partial H}{\partial p} \frac{ \partial f}{\partial x} - \frac{\partial H}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial p}

H = \frac{p^2}{2m} Необходимо показать, что \frac{df}{dt} \equiv 0 \frac{df}{dt} = - \frac{p}{m}

\left \{ H,f  \right \} = \frac{ \partial H}{\partial p} \frac{  \partial f}{\partial x} - \frac{\partial H}{\partial x} \frac{\partial  f}{\partial p} = \frac{p}{m} \cdot 1 - 0 то есть \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{ \partial t} + \left \{ H,f  \right \} =  - \frac{p}{m} + \frac{p}{m} = 0 \bigoplus ч.т.д.

Далее x - \frac{pt}{m} = x_0 x = x_0 + \frac{pt}{m} = x_0 + \frac{p_0 t}{m} = x_0 + \dot{x_0} t - закон равномерного движения, \dot{p} = \frac{\partial H}{\partial x} = 0 \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} x_0 = f = const

Опубликовано в Теоретическая механика

Найти гамильтониан движения заряда в постоянном и однородном магнитных полях E и H.

Лагранжиан L = \frac{mv^2}{2} + \frac{e}{c} ( \vec{A}, \vec{v} ) - e \phi, где с - скорость света, е - заряд, вектор-потенциал \vec{A} = \frac{1}{2} [ \vec{H}, \vec{r}], \vec{H} = rot \vec{A} = const, E = - grad \phi

\vec{p} = \frac{ \partial L}{ \partial \vec{v}} = m \vec{v} + \frac{e}{c} \vec{A}  \vec{v} = \frac{1}{m} ( \vec{p} - \frac{e}{c} \vec{A}) H = (\vec{p}, \vec{v}) - L = ( \vec{p}, \vec{p} - \frac{e}{c} \vec{A}) \frac{1}{m} - \frac{m}{2} \frac{1}{m^2} \left (  \vec{p} - \frac{e}{c} \vec{A} \right )^2 - \frac{e}{mc} \left ( \vec{A}, \vec{p} - \frac{e}{c} \vec{A} \right ) +

 + e \phi = \frac{1}{2m} \left ( \vec{p} - \frac{e}{c} \vec{A} \right )^2 + e \phi

Ответ: H = \frac{1}{2m} \left ( \vec{p} - \frac{e}{c} \vec{A} \right )^2 + e \phi{

Опубликовано в Теоретическая механика

Найти функцию Лагранжа, если известен гамильтониан H = \frac{\vec{p}^2}{2m} - (\vec{p}, \vec{a}), где а - константа \vec{a} = const

L= \sum^s_{i=1} p_i \dot{q}_i - H (p,q) \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}

Пусть \dot{q}_i = \vec{v} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{\vec{p}}{m} - \vec{a} или \dot{x} = \frac{\partail H}{\partial P_x} = \frac{P_x}{m} - a_x =>  \vec{p} =( \vec{v} + \vec{a}) m ; p_x = (\dot{x} + ax) m

L=(\vec{p}, \vec{v}) - H = m (\vec{v} + \vec{a}, \vec{v}) - \frac{1}{2m} m^2 ( \vec{v} + \vec{a}, \vec{v} + \vec{a}) + m (\vec{v} + \vec{a}, \vec{a}) =

 = m (\vec{v} + \vec{a}, \vec{v} + \vec{a}) - \frac{1}{2} m ( \vec{v} + \vec{a})^2 = \frac{m}{2} (\vec{v} + \vec{a})^2

Ответ: L = \frac{m}{2} (\vec{v} + \vec{a})^2

Опубликовано в Теоретическая механика

Найти функцию Гамильтона, если функция Лагранжа L= \frac{m v^2}{2} - U(r)

P_x = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m \dot{x} P_y = \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = m \dot{y} P_z = m \dot{z}

\vec{P} = \frac{\partial L}{\partial \dot{ \vec{v}}} = m \vec{v} \vec{v} = \frac{1}{m} \vec{P} , \dot{x} = \frac{1}{m} P_x

Для гамильтониана мы можем записать H(P,r) = P_x \dot{x} + P_y \dot{y} + P_z \dot{z} - \frac{m}{2} \vec{v}^2 + U(r) = 

= ( \vec{P}, \vec{v}) - \frac{m}{2} \vec{v}^2 + U(r) = ( \vec{P}, \vec{P}) \frac{1}{m} - \frac{m}{2} \frac{\vec{P}^2}{m^2} + U(r) =

 = \frac{\vec{P}^2}{2m} + U(r) => \frac{m v^2}{2} + U(r) = E = const

Опубликовано в Теоретическая механика

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]