- Содержимое по тегу: рекуррентное соотношение

kalser.ru Школьная кинематика Содержимое по тегу: рекуррентное соотношение

Пр решении задач старших курсов ВУЗов часто требуется выразить в явном виде подынтегральное выражение, или, говоря простыми словами, решающему нужно взять интеграл. Процедура взятия интеграла задача подчас даже творческая, в ход идут и многократные замены переменных,и интегрирование по частям или, как в нашем примере, ответ помогает найти рекуррентное соотношение.

Как известно, рекурсивно заданная функция в своём определении содержит себя, например, рекурсивной будет функция, заданная рекуррентной формулой [1].

Рассмотрим решение задачи по теоретической механике из сборника Ольховского (1.28):

Электрический заряд (e < 0) в начальный момент времени покоится на расстоянии h от бесконечной проводящей плоскости. Определить время, за которое заряд достигнет плоскости.

В ходе решения задачи мы получили интеграл вида:

t_p = \frac{\sqrt{2m}}{e} \int_h^0{\frac{dz}{\sqrt{\frac{1}{z} - \frac{1}{h}}}}

взять который нам помогает рекуррентное соотношение:

I_2 = \frac{1}{2a^2}(I_1 + \frac{x}{x^2 + a^2})

Здесь I_2 = \int{dx}{(x^2 + a^2)^2};I_1 = \int{\frac{dx}{x^2 + a^2}} = \frac{1}{a}arctg \frac{x}{a}

Рекуррентное соотношение мы сами же вывели по ходу решения через табличный интегралI_1.

Опубликовано в Советы по решению задач

Решение задачи из Сб. задач Ольховского по теоретической механике для физиков. Номер 1.28

Электрический заряд (e < 0) в начальный момент времени покоится на расстоянии h от бесконечной проводящей плоскости. Определить время, за которое заряд достигнет плоскости.

Решение:

Возникает кулоновское взаимодействие заряда с плоскостью:

task_olh_1-28

F_{kul} = - \frac{e^2}{4z^2} mz'' = - \frac{e^2}{4z^2}dz

\int_0^z{m dz' z'} = \int_h^z{-\frac{e^2}{4z^2} dz} => \frac{m{z'}^2}{2} = \frac{e^2}{4} \frac{1}{z}|_h^z

\frac{dz}{dt} = \sqrt{\frac{2}{m} (\frac{e^2}{4z} - \frac{e^2}{4h})} => dt = \frac{\sqrt{2m}}{e} \frac{dz}{\sqrt{\frac{1}{z} - \frac{1}{h}}}

t = \sqrt{\frac{m}{2}} \int{\frac{dz}{\sqrt{E - U}}}

Сила Кулона F_k = -\frac{dU}{dz} = + (- \frac{e}{4z^2}) поэтому U(z) = - \frac{e^2}{4z}

E = T + U = 0 = - \frac{e^2}{4h} => E - U = - \frac{e^2}{4h} - (- \frac{e^2}{4z})

C учетом всех выкладок, время падения:

t_p = \frac{\sqrt{2m}}{e} \int_h^0{\frac{dz}{\sqrt{\frac{1}{z} - \frac{1}{h}}}}

Берем интеграл заменой переменных x = \sqrt{\frac{1}{z} - \frac{1}{h}} => \frac{1}{z} = x^2 + \frac{1}{h} => z = \frac{1}{x^2 + \frac{1}{h}} => dz = - \frac{2x dx}{x^2 + \frac{1}{h}}

Получаем:

t_p =  - \frac{\sqrt{2m}}{e} \int_0^{\infty}{\frac{2xdx}{(x^2 + \frac{1}{h})^2}}}

Представляем подынтегральное выражение в виде справочного:

I_1 = \int{\frac{dx}{x^2 + a^2}} = \frac{1}{a}arctg \frac{x}{a}

Найдем связь I_1 и интеграла I_2 = \int{dx}{(x^2 + a^2)^2} при помощи вывода рекуррентного соотношения.

Берем I_2 по частям dx = du ; v = \frac{1}{x^2 + a^2} => v du = du v - u dv => dv = - \frac{2x dx}{(x^2 + a^2)^2} => \frac{u}{x^2 + a^2} + \int{\frac{x^2 x dx}{(x^2 +a^2)^2}} =>

 \int{\frac{2x^2 dx}{(x^2 + a^2)^2}} + \frac{x}{x^2 + a^2} = 2 \int{\frac{dx}{x^2 + a^2}} - 2a^2 \int{dx}{(x^2 + a^2)^2} + \frac{x}{x^2 + a^2}

В итоге мы получаем следующее рекуррентное соотношение:

I_2 = \frac{1}{2a^2}(I_1 + \frac{x}{x^2 + a^2})

Откуда I_2 = \frac{1}{2a^2} (\frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + \frac{x}{x^2 + a^2})

Вспоминая, что a^2 = \frac{1}{h}, получаем для определенного интеграла {I_2}_0^{\infty} = -\frac{\sqrt{2m}}{e} h \sqrt{h} \frac{\pi}{2}

Таким образом, время падения t_p = - \frac{1}{2} \pi h \sqrt{h} \frac{\sqrt{2m}}{e}

Ответ: Время, за которое заряд достигнет плоскости t_p = - \frac{1}{2} \pi h \sqrt{h} \frac{\sqrt{2m}}{e}


Опубликовано в Теоретическая механика

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]