- Содержимое по тегу: малые колебания

kalser.ru Электродинамика сплошных сред Содержимое по тегу: малые колебания

Решение задачи из Сб. задач по классической механике авт. Коткин, Сербо Номер 5.6

Найти поправку к частоте малых колебаний двухатомной молекулы, вызванную наличием у нее момента импульса \vec{L}

\Delta \omega = \omega - \omega_0 - ?

Решение:

ks56В начале потенциал взаимодействия двухатомной молекулы имел вид: U(r)= \frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2}k (r-r_0)^2 => U(r) = \frac{1}{2} \mu \omega_0^2 (r-r_0),

начальная частота малых колебаний \omega_0^2 = \frac{k}{\mu} , где \mu - приведенная масса системы. Минимум потенциальной энергии находится в точке r_0 => U(r_0) = min

ks56_1

Перейдем к задаче об одном теле, движущемся с эффективным потенциалом U_{eff}(r)= \frac{1}{2} \mu \omega_0^2 (r-r_0)^2 + \frac{L^2}{2 \mu r^2}

Пусть \frac{L^2}{2 \mu r^2} << \frac{1}{2} \mu \omega_0^2 (r-r_0)^2 => сдвиг r_0. Найдем точку устойчивого равновесия для эффективного потенциала. Первая производная:

U'_{eff} = \mu \omega_0^2 (r-r_0) - \frac{L^2}{\mu r^3} = 0 Решим это уравнение приближенно, то есть будем считать, что \delta r мал, тогда r^3 \approx r_0^3 => \delta r = r -r_0 = \frac{L^2}{\mu^2 \omega_0^2 r_0^3}

r'_0 - точка нового минимума. Разложение U_{eff} (r) в точке r_0 + \delta r = r'_0 дает:

U_{eff} (r) = [U_{eff} (r_0 + \delta r) = 0<=>const] + \frac{1}{2} \mu \omega^2 (r - r_0 - \delta r)^2 \omega^2 = \frac{k'}{\mu}

Для сравнения, находим U''_{eff} (r_0 + \delta r) = \mu \omega_0^2 + \frac{3 L^2}{\mu r_0^4}. Таким образом U_{eff} (r) = \frac{1}{2} U''_{eff} (r_0+ \delta r)(r-r_0 - \delta r)^2 = \frac{1}{2} \mu (\omega_0^2 + \frac{3L^2}{\mu^2 r_0^4})(r-r_0 - \delta r)^2 и мы можем записать для измененной частоты \omega^2 = \omega_0^2 + \frac{3L^2}{\mu^2 r_0^4} \equiv (\omega_0 + \Delta \omega)^2 = \omega_0^2 + 2 \omega_0 \Delta \omega + \Delta \omega^2, считая \ÐÑÐ´ÐµÑ \omega^2 = 0 получаем ответ:

\Delta \omega = \frac{3L^2}{2 \mu^2 r_0^4 \omega_0}

Дополнительно: \Delta \omega = \frac{3}{2} \left ( \frac{L^2}{ \mu^2 r_0^3 \omega_0^2  \right ) \cdot \frac{\omega_0}{r_0}} с учетом, что \left ( \frac{L^2}{ \mu^2 r_0^3 \omega_0^2}  \right ) = \delta r получаем \Delta \omega = \frac{3}{2} \frac{\delta r}{r_0} и \Delta \omega \sim \omega_0 \frac{\delta r}{r_0}

Опубликовано в Теоретическая механика

Решение задачи из Сб. задач по классической механике авт. Коткин, Сербо Номер 5.1

\omega-?

U(x) = U_0 cos ( \alpha x) - Fx, при этом U_0, \alpha, F являются константами.

U'(x) = - \alpha U_0 sin ( \alpha x) - F =0 => sin (\alpha x) = - \frac{F}{2U_0} \begin{vmatrix}
 \frac{F}{\alpha U_0}
\end{vmatrix} \leqslant 1

U''(x)|_{x_0} = - \alpha^2 U_0 cos (\alpha x_0) > 0 = - \alpha^2 U_0 \sqrt{1 - \frac{F^2}{\alpha^2 U_0^2}}

k = |U''(x_0)| = \alpha U_0^2 \sqrt{1 - \frac{F^2}{\alpha^2 U_0^2}}

Ответ: \omega = \frac{\alpha^2 U_0}{m} \sqrt{1 - \frac{F^2}{\alpha^2 U_0^2}}

Опубликовано в Теоретическая механика

Решение задачи из Сб. задач Ольховского по теоретической механике для физиков. Номер 6.09

На концах трубы находятся заряды Q, найти частоту малых колебаний \omega

Решение:

olh611

sign(lQ) > 0 - только в этом случае будут возможны колебания.

Лагранжиан системы L = \frac{m \dot{x^2}}{2} - U_1(x)- U_2(x)

U_1+U_2= \frac{lQ}{a-x} + \frac{lQ}{a+x} = lQ \left (  \frac{1}{a-x} + \frac{1}{a+x}  \right ) = lQ \left (  \frac{2a}{a^2-x^2}  \right )

U'(x) =lQ \left (  - \frac{-2x}{(a^2-x^2)^2}  \right ) 2a = 0 => x = 0 U''(x)|_{x=0} =2alQ \frac{2(a^2-x^2) - 4x(a^2-x^2)(-2x)}{(a^2-x^2)^4} =

=4alQ \frac{a^2-x^2 + 4x^2}{(a^2-x^2)^3}|_{x=0} = \frac{4lQ}{a^3}

Таким образом, для частоты малых колебаний зарядов мы получаем: \omega^2 = \frac{k}{m} = \frac{4lQ}{a^3} > 0, если lQ>0

Второй способ, по формуле Тейлора:

U(x)=2alQ \frac{1}{a^2-x^2} \approx \frac{2alQ}{a^2}(1 + \frac{x^2}{a^2}) \approx  \frac{2lQ}{a^3} x^2 \equiv \frac{kx^2}{2} k = \frac{4lQ}{a^3}

Опубликовано в Теоретическая механика

Решение задачи из Сб. задач Ольховского по теоретической механике для физиков. Номер 6.09

Потенциал взаимодействия двух атомов массой m1 и m2 равен U(r)=U_0 e^{-2a(r-r_0)}-2U_0 e^{-a(r-r_0)}

U_0, a,r_0 - константы.

Задача на минимум потенциала. Найдем минимумolh69_01 U(r)

U'(r)=-U_0 2ae^{-2a(r-r_0)}+2U_0ae^{-a(r-r_0)}=0

2U_0ae^{-a(r-r_0)} \left (  -e^{-a(r-r_0)} +1  \right ) = 0 в точке r=r_0 - экстремум функции U(r):

U''(r)|_{r_0} = 4a^2U_0e^{-2a(r-r_0)} - 2U_0 a^2 e^{-a(r-r_0)}|_{r_0} =olh69_02

 = 4a^2U_0-2a^2U_0=2a^2U_0>0 Если U_0>r_0

в точке r=r_0 - минимум =>

=> k=2a^2U_0 C учетом уравнения Лагранжа \mu \ddot{r} + kr=0 получаем \omega^2 = \frac{2a^2U_0}{\mu}

L=T-U=\frac{m_1 \dot{r_1}^2}{2} + \frac{m_2 \dot{r_2}^2}{2} - U(r) = \frac{m_1+m_2}{2} \dot{r}^2_m - U(r) + \frac{1}{2} \mu \dot{r}^2

U(r_0) = U_0 - 2U_0 = - U_0

Опубликовано в Теоретическая механика

Рассмотреть, как меняются координаты и скорости малых колебаний с одной степенью свободы со временем.

\left\{\begin{matrix}
x=x_0 cos(\omega t + \alpha)); x(0) = a = x_0 cos \alpha &  & \\ 
x= - x_0 \omega sin(\omega t + \alpha));\dot{x}(0) = v = - x_0 \omega sin \alpha &  & 
\end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix}
tg \alpha = - \frac{v}{a \omega} &  & \\ 
x_0 = \sqrt{a^2 + \frac{v^2}{\omega^2}} &  & 
\end{matrix}\right.

 

Опубликовано в Теоретическая механика

Найти частоту малых колебаний материальной точки массы m на пружине. Сила натяжения пружины \vec{F}, длина пружины l =h

Решение:

malk

Пусть \delta l - малое удлинение пружины, тогда:

U(x) = F \delta l = F (\sqrt{l^2+x^2} -l) U'(x)=F \frac{1}{2} 2x \frac{1}{\sqrt{l^2+x^2}}= Fx \frac{1}{\sqrt{l^2+x^2}}= 0

Рассмотрим точку x = 0 => потенциал U(x) имеет минимум в точке х = 0.

U''(x)=F \frac{\sqrt{l^2+x^2} -x \frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}}{l^2+x^2}=\frac{Fl^2}{(l^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}|_{x=0} = \frac{F}{l}

k = \frac{F}{l} => \omega^2 = \frac{F}{lm} => x=x_0 cos \left ( \sqrt{\frac{F}{lm}}t + \alpha \right )

Второй случай: по формуле Тейлора

U(x) = F \delta l = F (\sqrt{l^2+x^2} -l) = Fl \left ( \sqrt{1+ \frac{x^2}{l^2}} - 1  \right ) =

 = Fl(1 + \frac{1}{2} \frac{x^2}{l^2} - 1 + ... ) \approx \frac{F}{2l} x^2 = \frac{kx^2}{2} => k = \frac{F}{l}

при разложении учтено, что \sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x^2 + ..., при малых х.

Опубликовано в Теоретическая механика

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]