- Содержимое по тегу: вынужденные колебания

kalser.ru Советы по решению задач Содержимое по тегу: вынужденные колебания

Найти энергию, переданную осциллятору со стороны внешнего поля

x = \frac{1}{m \omega} \int^{t_0}_0 F( \tau ) sin \omega (t - \tau) d \tau = \frac{F_0}{m \omega} \left (  \frac{1}{ \omega} cos \omega (t - \tau)  \right )|^{t_0}_0 =

 = \frac{F_0}{m \omega^2} ( cos \omega (t - t_0) - cos ( \omega t)) = 2 \frac{F_0}{m \omega^2} sin \left ( \omega t - \frac{\omega t_0}{2}  \right ) sin \left ( \frac{\omega t_0}{2} \right )

\dot{x} = 2 \frac{F_0}{m \omega} cos \left ( \omega t - \frac{\omega t_0}{2}  \right ) sin \frac{\omega t_0}{2}

E(t) = \frac{m}{2} (\dot{x}^2 + \omega^2 x^2) = \frac{m}{2} 4 \frac{F^2_0}{m^2 \omega^2} sin^2 (\frac{\omega t_0}{2}) =

= \frac{2 F^2_0}{m \omega^2} sin^2 (\frac{\omega t_0}{2}) - для случаев t > t_0

Опубликовано в Теоретическая механика

Решение задачи из Сб. задач по классической механике авт. Коткин, Сербо Номер 5.6

Найти поправку к частоте малых колебаний двухатомной молекулы, вызванную наличием у нее момента импульса \vec{L}

\Delta \omega = \omega - \omega_0 - ?

Решение:

ks56В начале потенциал взаимодействия двухатомной молекулы имел вид: U(r)= \frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2}k (r-r_0)^2 => U(r) = \frac{1}{2} \mu \omega_0^2 (r-r_0),

начальная частота малых колебаний \omega_0^2 = \frac{k}{\mu} , где \mu - приведенная масса системы. Минимум потенциальной энергии находится в точке r_0 => U(r_0) = min

ks56_1

Перейдем к задаче об одном теле, движущемся с эффективным потенциалом U_{eff}(r)= \frac{1}{2} \mu \omega_0^2 (r-r_0)^2 + \frac{L^2}{2 \mu r^2}

Пусть \frac{L^2}{2 \mu r^2} << \frac{1}{2} \mu \omega_0^2 (r-r_0)^2 => сдвиг r_0. Найдем точку устойчивого равновесия для эффективного потенциала. Первая производная:

U'_{eff} = \mu \omega_0^2 (r-r_0) - \frac{L^2}{\mu r^3} = 0 Решим это уравнение приближенно, то есть будем считать, что \delta r мал, тогда r^3 \approx r_0^3 => \delta r = r -r_0 = \frac{L^2}{\mu^2 \omega_0^2 r_0^3}

r'_0 - точка нового минимума. Разложение U_{eff} (r) в точке r_0 + \delta r = r'_0 дает:

U_{eff} (r) = [U_{eff} (r_0 + \delta r) = 0<=>const] + \frac{1}{2} \mu \omega^2 (r - r_0 - \delta r)^2 \omega^2 = \frac{k'}{\mu}

Для сравнения, находим U''_{eff} (r_0 + \delta r) = \mu \omega_0^2 + \frac{3 L^2}{\mu r_0^4}. Таким образом U_{eff} (r) = \frac{1}{2} U''_{eff} (r_0+ \delta r)(r-r_0 - \delta r)^2 = \frac{1}{2} \mu (\omega_0^2 + \frac{3L^2}{\mu^2 r_0^4})(r-r_0 - \delta r)^2 и мы можем записать для измененной частоты \omega^2 = \omega_0^2 + \frac{3L^2}{\mu^2 r_0^4} \equiv (\omega_0 + \Delta \omega)^2 = \omega_0^2 + 2 \omega_0 \Delta \omega + \Delta \omega^2, считая \ÐÑÐ´ÐµÑ \omega^2 = 0 получаем ответ:

\Delta \omega = \frac{3L^2}{2 \mu^2 r_0^4 \omega_0}

Дополнительно: \Delta \omega = \frac{3}{2} \left ( \frac{L^2}{ \mu^2 r_0^3 \omega_0^2  \right ) \cdot \frac{\omega_0}{r_0}} с учетом, что \left ( \frac{L^2}{ \mu^2 r_0^3 \omega_0^2}  \right ) = \delta r получаем \Delta \omega = \frac{3}{2} \frac{\delta r}{r_0} и \Delta \omega \sim \omega_0 \frac{\delta r}{r_0}

Опубликовано в Теоретическая механика

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]