- Содержимое по тегу: скобка Пуассона

kalser.ru Термодинамика и статфизика Содержимое по тегу: скобка Пуассона

harm_osc_01Лагранжиан одномерный гармонического осциллятора L= \frac{m \dot{x}^2}{2} - \frac{kx^2}{2} H= \frac{p^2}{2m} + \frac{kx^2}{2} = E_0 = const \frac{p^2}{2mE} + \frac{x^2}{\frac{2E_0}{k}} = 1 - уравнение эллипса <=>  \frac{p^2}{b^2} + \frac{x^2}{a^2} = 1

Фазовый "портрет" одномерного гармонического осциллятора:

harm_osc_02

Покажем, что гамильтониан H есть интеграл движения:

\frac{dH}{dt} = \frac{ \partial H}{ \partial t} + \left \{ H, H  \right \} = 0 + \frac{\partial H}{ \partial p} \frac{\partial H}{ \partial x} - \frac{\partial H}{ \partial x} \frac{\partial H}{ \partial p} = 0 ч.т.д.

Здесь за  \left \{ H, H  \right \} принято обозначение скобки Пуассона.

Опубликовано в Теоретическая механика

Показать, что функция f(x, p, t) = x - \frac{pt}{m} есть интеграл движения для свободной материальной точки массы m.

В решении будем применять сокращение в виде скобки Пуассона \left \{ H,f  \right \} = \frac{ \partial H}{\partial p} \frac{ \partial f}{\partial x} - \frac{\partial H}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial p}

H = \frac{p^2}{2m} Необходимо показать, что \frac{df}{dt} \equiv 0 \frac{df}{dt} = - \frac{p}{m}

\left \{ H,f  \right \} = \frac{ \partial H}{\partial p} \frac{  \partial f}{\partial x} - \frac{\partial H}{\partial x} \frac{\partial  f}{\partial p} = \frac{p}{m} \cdot 1 - 0 то есть \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{ \partial t} + \left \{ H,f  \right \} =  - \frac{p}{m} + \frac{p}{m} = 0 \bigoplus ч.т.д.

Далее x - \frac{pt}{m} = x_0 x = x_0 + \frac{pt}{m} = x_0 + \frac{p_0 t}{m} = x_0 + \dot{x_0} t - закон равномерного движения, \dot{p} = \frac{\partial H}{\partial x} = 0 \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} x_0 = f = const

Опубликовано в Теоретическая механика

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]