- Найти силу, действующую на заряд в электромагнитном поле

kalser.ru Теоретическая механика Найти силу, действующую на заряд в электромагнитном поле
03.11.2012 04:32

Найдем силу, действующую на заряд е в электромагнитном поле F = - \frac{ \partial U}{\partial r} + \frac{d}{dt}  \frac{ \partial U}{\partial \vec{r}}

\frac{ \partial U}{\partial \vec{r}} = \frac{\partial }{\partial \vec{\dot{r}}} \left ( - \frac{e}{c} (\vec{A}, \vec{\dot{r}} ) \right ) = - \frac{e}{c} \vec{A}

\frac{d}{dt} \left ( - \frac{e}{c} \vec{A} \right ) =  - \frac{e}{c} \frac{dA}{dt} - \frac{e}{c} \frac{ \partial \vec{A}}{\partial r} \frac{ \partial \vec{r}}{\partial t} = 

Отметим, что \frac{ \partial \vec{A}}{\partial r} - скаляр (т.е. дивергенция), а \frac{ \partial \vec{r}}{\partial t} - вектор.

= - \frac{e}{c} \frac{ \partial \vec{A}}{\partial t} - \frac{e}{c} (\vec{\dot{r}}, \vec{\bigtriangledown}) \vec{A}

\frac{\partial U}{ \partial \vec{r}} = - \frac{\partial}{\partial \vec{r}} (-e \phi - \frac{e}{c} (\vec{A},\vec{\dot{r}}) ) = e \frac{\partial \phi}{\partial r}  - \frac{e}{c} \vec{\bigtriangledown} [(A, \vec{\dot{r}})]

\vec{F} =  - e \frac{\partial \phi}{\partial \vec{r}} - \frac{e}{c} \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}} - \frac{e}{c} (\vec{\dot{r}},\vec{\bigtriangledown}) \vec{A} + \frac{e}{c} \vec{\bigtriangledown} (\vec{A},\vec{\dot{r}})

Применяем следующее тождество для тройного векторного произведения (мнемоническая фраза "БАЦ-миниус-ЦАБ"):

[\vec{a}[\vec{b}, \vec{c}]] = \vec{b} (\vec{a},\vec{c}) - \vec{c} (\vec{a},\vec{b}) в нашем случае \vec{b} \equiv \vec{\bigtriangledown}  \; \! ; \! \; \vec{a} \equiv \vec{\dot{r}} \! \; ; \; \! \vec{c} \equiv \vec{A} и мы можем записать:

[\vec{\dot{r}} [\vec{\bigtriangledown}, \vec{A}]] = \vec{\bigtriangledown} (\vec{\dot{r}}, \vec{A}) - \vec{A} (\vec{\dot{r}},  \vec{\bigtriangledown})

C учетом всех сделанных выше преобразований, получаем следующее выражение для силы:

\vec{F} =  - e grad \phi - \frac{e}{c} \frac{ \partial \vec{A}}{ \partial t} + \frac{e}{c} [\vec{\dot{r}} [\vec{\bigtriangledown}, \vec{A}]] = - e \vec{\bigtriangledown} \phi - \frac{e}{c} \frac{ \partial \vec{A}}{ \partial t} - \frac{e}{c} [\vec{\dot{r}}, \vec{H}]

Здесь  e \vec{\bigtriangledown} \phi - кулоновское взаимодействие в потенциальном поле.

 \frac{e}{c} \frac{ \partial \vec{A}}{ \partial t} - взаимодействие с вихревым электростатическим полем.

\frac{e}{c} [\vec{\dot{r}}, \vec{H}] - сила Лоренца (пример гироскопической силы).

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]