- Найти выражение для силы, под действием которой...

kalser.ru Теоретическая механика Найти выражение для силы, под действием которой...
23.09.2012 16:09

Решение задачи из Сб. задач Ольховского по теоретической механике для физиков. Номер 2.1

Найти выражение для силы, под действием которой материальная точка массой m движется в плоскости z= 0 по закону x = a ch(kT) y = b sh(kT). Найти сохраняющиеся величины.

Решение:

Движение плоское, поэтому \vec{F} = (F_x, F_y, 0)

m \ddot{\vec{r}} = \vec{F} или \ddot{\vec{r}} = \frac{\vec{F}}{m} = (\ddot{x}, \ddot{y}, 0) \dot{x} = ak sh(kT) \ddot{x} = ak^2 ch(kT) = k^2 x

\dot{y} = bk \cdot ch(kT) \ddot{y} = bk^2 sh(kT) = k^2 y \ddot{\vec{r}} = \frac{\vec{F}}{m}= k^2 (x, y, 0) = k^2 (\vec{i}x + \vec{j} y) = k^2 r => \vec{F} = mk^2 \vec{r} = - grad U U =  - \frac{m k^2}{2} {\vec{r}}^2 = - \frac{m k^2}{2} (x^2 + y^2)\frac{dU}{dx} = - mk^2x \frac{\partial U}{\partial y} = - mk^2 y

E = T + U = \frac{m}{2} (\dot{x}^2 + \dot{y}^2) - \frac{mk^2}{2}(x^2 + y^2) = ... опустив промежуточные выкладки, получаем:

... = \frac{mk^2}{2} (a^2 sh^2 kT - a^2 ch^2 kT + b^2 sh^2kT -b^2 sh^2kT) = - \frac{mk^2}{2} (- a^2 + b^2)

Здесь учтено ,что sh^2 kT - ch^2 kT = \frac{1}{4} (e^x - e^{-x})^2 - \frac{1}{4} (e^x + e^{-x})^2 = \frac{1}{4} (-2  + (-2))^2 = -1

Найдем сохраняющиеся величины:

E = \frac{m k^2}{2} (b^2 - a^2) = const

Момент импульса \vec{L} = [\vec{r} Ñ \vec{p}] = (0, 0, L_z) L_z = m (x \dot{y} - y \dot{x}) = const


(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]