- Содержимое по тегу: теорема

kalser.ru Теоретическая механика Содержимое по тегу: теорема

Пусть система из N материальных точек совершает финитное движение в потенциальном поле U(z), где U(z) является однородной функцией от r степени "k". Тогда \bar{T} = \frac{k}{2} \bar{U}, где \bar{T},\bar{U} - средние значения кинетической и потенциальной энергий, соответственно.

Доказательство:

Из теоремы Эйлера об однородной функции, можем записать \sum^S_{i=1} \frac{ \partial f}{\partial x_i} x_i = kf f( \alpha x) = \alpha^k f(x)

Рассмотрим кинетическую энергию T = \sum^N_{i=1} \frac{m_i v^2_i}{2} \rightarrow k=2 - однородная функция степени k. U( \alpha r) = \alpha^k U(r)

Запишем условие теоремы Эйлера для кинетической энергии:

2T = \sum^N_{i=1} \frac{ \partial T}{\partial v_i} \vec{v_i} = \sum^N_{i=1} (\vec{p}_i, \vec{v}_i) = \sum^N_{i=1} \frac{d}{dt} \left [ (\vec{p_i}, \vec{r_i}) - (\vec{\dot{p_i}}, \vec{\dot{r_i}}) \right ]

2T =  \sum^N_{i=1} \frac{d}{dt}   (\vec{p_i}, \vec{r_i}) + \left ( \frac{ \partial U}{\partial r_i}, r_i  \right ) (1)

Усредним уравнение (1): пусть f=f(t) = \frac{d}{dt} F(t), тогда \bar{f} = \lim_{T \to \infty } \frac{1}{T} \int^T_0 f(t) dt = \lim_{T \to \infty } \left ( \frac{1}{T} F(t)  \right )|^T_0 => \bar{f}= \lim_{T \to \infty } \frac{1}{T} (F(T) - F(0))

пусть |F(t)| < \infty t \in [0; + \infty] => 2 \bar{T} =  \sum^N_{i=1} \left [ \frac{d}{dt}   (\vec{p_i}, \vec{r_i})   \right ]_{=0} + \left ( \frac{ \partial U}{\partial r_i}, r_i  \right ) т. к. движение финитно, то |\vec{p}_i| и |\vec{r}_i|< \infty

2 \bar{T} =  \sum^N_{i=1} \left ( \frac{ \partial U}{\partial r_i}, r_i  \right ) = k \bar{U} ч.т.д.

Примеры:

1)harm_osc_01 Пусть U(r) = \frac{\alpha}{2} r^2 ; k=2 => \bar{T}=\bar{U} => \frac{kx^2}{2} то есть система представляет собой математический маятник (осциллятор)

2) Пусть U(r) =  - \frac{\alpha}{r} k= - 1; \: \! \bar{T}= - \frac{1}{2} \bar{U}

3) E=T+U усредняем => \bar{E}= \overline{T+U} = E то есть \bar{E} = \bar{T} + \frac{2}{k} \bar{T} = \frac{k+2}{k} \bar{T}

Опубликовано в Теоретическая механика

Доказать, что \sum^N_{i=1} [\vec{r}_i, \vec{p}_i] = \sum^N_{i=1} [\vec{r}_{0i}, \vec{p}_{0i}] + [\vec{R}, \vec{p}], то есть показать, что момент импульса механической системы равен моменту импульса системы центра масс + [\vec{R}, \vec{p}]

Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Опубликовано в Теоретическая механика

Доказать, что T=T_0 + \frac{M \vec{\dot{R_0}}}{2} , то есть показать, что кинетическая энергия системы материальных точек равна кинетической энергии системы центра масс +  \frac{M \vec{\dot{R_0}}}{2}

Доказательство:

teor_termech1\sum \frac{m_i \vec{v}^2_i}{2} = \sum \frac{m_{i} \vec{v}_{0i}^2}{2} + \frac{M \vec{\dot{R_0}}^2}{2} , где v_{0i} - скорость центра масс, T_0 - энергия центра масс.

\vec{r_i} = \vec{r_0i} + \vec{R_0} => дифференцируем по времени: \vec{v_i} = \vec{v_{0i}} + \vec{\dot{R_0}} =>

\sum \frac{m_i \vec{v}^2_i}{2} = \sum \frac{m_{i}}{2} (\vec{v}_{i0} + \vec{\dot{R_0}})^2 = \sum \frac{m_{i} \vec{v}^2_{0i}}{2} + \sum \frac{1}{2} m_{i} \vec{\dot{R_0}}^2 + \left ( \sum m_{i} v_{0i}, \vec{R_0} \right )_{=0}

\vec{R_0} = 0  \vec{\dot{R_0}} = \frac{1}{M} \sum m_{i} \vec{v_{0i}} = 0 ч.т.д.

Опубликовано в Теоретическая механика

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]