- Содержимое по тегу: термех

kalser.ru Теоретическая механика Содержимое по тегу: термех

 

Решение задачи из методички "Теоретическая механика" для заочников, Тарг, издание 1988

targ_c1_2

Жесткая рама (рисунок С1.2, таблица С1) закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню ВВ, или к шарнирной опоре на катках. Стержень прикреплен к раме и к неподвижной опоре шарнирами. На раму действуют пара сил с моментом M = 100 н·м, и две силы, значения которых, направления и точки приложения указаны в таблице. F_2 = 20 \, \: H

targc12_01

номер условия точка приложения α1 точка прилож α2 точка прилож α3 точка прилож α4
4 - - K 30 N 60 - -

Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые заданными нагрузками.

Решение:

targc12_02

Составим уравнение моментов относительно точки А:

\sum M_A = 0 в проекции на ось YА (см. рисунок)

R_B \cdot 4l + F_2 sin \alpha \cdot 2l - M = 0

Откуда R_B = \frac{M - F_2 sin \alpha \cdot 2l} {4l} = \frac{100 - 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2l}{4l} =

= \frac{25}{l} - 5 \sqrt{3} Н·м

Составим, по аналогии, уравнение моментов относительно точки B:

R_A \cdot 4l + F_2 sin \alpha \cdot 2l - M = 0

откуда R_A = R_B

Ответ: R_A \equiv R_B = \frac{25}{l} - 5 \sqrt{3}

Опубликовано в Теоретическая механика

Если \sum Q_i^* \dot{q}_i = 0, но  Q_i^* \neq 0, то силу называют гироскопической.

Здесь Q_i^* - непотенциальные силы, q - обобщенная координата.

Примеры гироскопических сил

1. Сила Лоренца (в системе СГС) \vec{F_l} = \frac{e}{c} [\vec{v}, \vec{H}]

dA_l = (\vec{F_l}, dr) = \left ( \vec{F_l}, \frac{\partial \vec{r}}{\partial q} dq \right ) = \left ( \vec{F_l}, \frac{\partial \vec{r}}{\partial q} \right ) dq = Q^* dq \frac{dA}{dt_1} = Q_1^* \dot{q}

Перейдем к декартовым координатам, где q \equiv \vec{r}: \frac{dA}{dt} = Q^* dq \equiv (\vec{F_l}), \vec{v_i}) = ([\vec{v}, \vec{H}], \vec{v}) \equiv 0 => \frac{dE}{dt} = 0 - то есть не изменяется при движении в магнитном поле . Магнитное поле не производит работу.

2. Сила Кориолиса \vec{F}_{kor} =  - 2m [\vec{\omega}, \vec{v}]}korforceexample

(\vec{F}_{kor}, \vec{v}) = -2m ([\vec{\omega}, \vec{v}], \vec{v}) \equiv 0, здесь учтено следующее свойство векторного произведения: [\vec{a}, \vec{b}] = - [\vec{b}, \vec{a}]

Опубликовано в Теоретическая механика

Найдем силу, действующую на заряд е в электромагнитном поле F = - \frac{ \partial U}{\partial r} + \frac{d}{dt}  \frac{ \partial U}{\partial \vec{r}}

\frac{ \partial U}{\partial \vec{r}} = \frac{\partial }{\partial \vec{\dot{r}}} \left ( - \frac{e}{c} (\vec{A}, \vec{\dot{r}} ) \right ) = - \frac{e}{c} \vec{A}

\frac{d}{dt} \left ( - \frac{e}{c} \vec{A} \right ) =  - \frac{e}{c} \frac{dA}{dt} - \frac{e}{c} \frac{ \partial \vec{A}}{\partial r} \frac{ \partial \vec{r}}{\partial t} = 

Отметим, что \frac{ \partial \vec{A}}{\partial r} - скаляр (т.е. дивергенция), а \frac{ \partial \vec{r}}{\partial t} - вектор.

= - \frac{e}{c} \frac{ \partial \vec{A}}{\partial t} - \frac{e}{c} (\vec{\dot{r}}, \vec{\bigtriangledown}) \vec{A}

\frac{\partial U}{ \partial \vec{r}} = - \frac{\partial}{\partial \vec{r}} (-e \phi - \frac{e}{c} (\vec{A},\vec{\dot{r}}) ) = e \frac{\partial \phi}{\partial r}  - \frac{e}{c} \vec{\bigtriangledown} [(A, \vec{\dot{r}})]

\vec{F} =  - e \frac{\partial \phi}{\partial \vec{r}} - \frac{e}{c} \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}} - \frac{e}{c} (\vec{\dot{r}},\vec{\bigtriangledown}) \vec{A} + \frac{e}{c} \vec{\bigtriangledown} (\vec{A},\vec{\dot{r}})

Применяем следующее тождество для тройного векторного произведения (мнемоническая фраза "БАЦ-миниус-ЦАБ"):

[\vec{a}[\vec{b}, \vec{c}]] = \vec{b} (\vec{a},\vec{c}) - \vec{c} (\vec{a},\vec{b}) в нашем случае \vec{b} \equiv \vec{\bigtriangledown}  \; \! ; \! \; \vec{a} \equiv \vec{\dot{r}} \! \; ; \; \! \vec{c} \equiv \vec{A} и мы можем записать:

[\vec{\dot{r}} [\vec{\bigtriangledown}, \vec{A}]] = \vec{\bigtriangledown} (\vec{\dot{r}}, \vec{A}) - \vec{A} (\vec{\dot{r}},  \vec{\bigtriangledown})

C учетом всех сделанных выше преобразований, получаем следующее выражение для силы:

\vec{F} =  - e grad \phi - \frac{e}{c} \frac{ \partial \vec{A}}{ \partial t} + \frac{e}{c} [\vec{\dot{r}} [\vec{\bigtriangledown}, \vec{A}]] = - e \vec{\bigtriangledown} \phi - \frac{e}{c} \frac{ \partial \vec{A}}{ \partial t} - \frac{e}{c} [\vec{\dot{r}}, \vec{H}]

Здесь  e \vec{\bigtriangledown} \phi - кулоновское взаимодействие в потенциальном поле.

 \frac{e}{c} \frac{ \partial \vec{A}}{ \partial t} - взаимодействие с вихревым электростатическим полем.

\frac{e}{c} [\vec{\dot{r}}, \vec{H}] - сила Лоренца (пример гироскопической силы).

Опубликовано в Теоретическая механика

Первый закон Кеплера. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце.

kepler_1z_01

Рассмотрим случай, когда m_1 = m_c - масса Солнца,

m_2 = m_z - масса Земли

\vec{r_c} = - \frac{m_2}{m_1+m_2} \vec{r} = - \frac{m_z}{m_c+m_z} \vec{r}\approx 0

\vec{r_z} = \frac{m_1}{m_1+m_2} \vec{r} =  \frac{m_c}{m_c+m_z} \vec{r} \approx \vec{r}

r_z = \frac{p}{1+l cos \phi} r_c = \frac{p}{1+l cos \phi} => Солнце также движется по эллипсу, но он достаточно мал.


Второй закон Кеплера (сохранение момента импульса)kepler_2z_01\Delta S \approx \frac{1}{2} r \Delta \phi \delta = \frac{\Delta S}{\Delta t} - секториальная скорость, также есть по определению:

\frac{1}{2} r^2 \frac{\Delta \phi}{\Delta t} => \delta = \frac{1}{2} r^2 \dot{\phi}

Момент импульса L_0 = \mu r^2 \dot{\phi} = 2 \mu \delta = const => \delta = const

За равные промежутки времени радиус-вектор планеты "заметает" равные площади.


Третий закон Кеплера. \left ( \frac{T_1}{T_2} \right )^2 = \left ( \frac{a_1}{a_2} \right )^3, где T_i - период обращения планеты вокруг Солнца, a_i - большая полуось эллипса.

Время T = \sqrt{\frac{\mu}{2}} \int \frac{dr}{\sqrt{E-U_{eff} (r)}}

Опубликовано в Теоретическая механика

Пусть система из N материальных точек совершает финитное движение в потенциальном поле U(z), где U(z) является однородной функцией от r степени "k". Тогда \bar{T} = \frac{k}{2} \bar{U}, где \bar{T},\bar{U} - средние значения кинетической и потенциальной энергий, соответственно.

Доказательство:

Из теоремы Эйлера об однородной функции, можем записать \sum^S_{i=1} \frac{ \partial f}{\partial x_i} x_i = kf f( \alpha x) = \alpha^k f(x)

Рассмотрим кинетическую энергию T = \sum^N_{i=1} \frac{m_i v^2_i}{2} \rightarrow k=2 - однородная функция степени k. U( \alpha r) = \alpha^k U(r)

Запишем условие теоремы Эйлера для кинетической энергии:

2T = \sum^N_{i=1} \frac{ \partial T}{\partial v_i} \vec{v_i} = \sum^N_{i=1} (\vec{p}_i, \vec{v}_i) = \sum^N_{i=1} \frac{d}{dt} \left [ (\vec{p_i}, \vec{r_i}) - (\vec{\dot{p_i}}, \vec{\dot{r_i}}) \right ]

2T =  \sum^N_{i=1} \frac{d}{dt}   (\vec{p_i}, \vec{r_i}) + \left ( \frac{ \partial U}{\partial r_i}, r_i  \right ) (1)

Усредним уравнение (1): пусть f=f(t) = \frac{d}{dt} F(t), тогда \bar{f} = \lim_{T \to \infty } \frac{1}{T} \int^T_0 f(t) dt = \lim_{T \to \infty } \left ( \frac{1}{T} F(t)  \right )|^T_0 => \bar{f}= \lim_{T \to \infty } \frac{1}{T} (F(T) - F(0))

пусть |F(t)| < \infty t \in [0; + \infty] => 2 \bar{T} =  \sum^N_{i=1} \left [ \frac{d}{dt}   (\vec{p_i}, \vec{r_i})   \right ]_{=0} + \left ( \frac{ \partial U}{\partial r_i}, r_i  \right ) т. к. движение финитно, то |\vec{p}_i| и |\vec{r}_i|< \infty

2 \bar{T} =  \sum^N_{i=1} \left ( \frac{ \partial U}{\partial r_i}, r_i  \right ) = k \bar{U} ч.т.д.

Примеры:

1)harm_osc_01 Пусть U(r) = \frac{\alpha}{2} r^2 ; k=2 => \bar{T}=\bar{U} => \frac{kx^2}{2} то есть система представляет собой математический маятник (осциллятор)

2) Пусть U(r) =  - \frac{\alpha}{r} k= - 1; \: \! \bar{T}= - \frac{1}{2} \bar{U}

3) E=T+U усредняем => \bar{E}= \overline{T+U} = E то есть \bar{E} = \bar{T} + \frac{2}{k} \bar{T} = \frac{k+2}{k} \bar{T}

Опубликовано в Теоретическая механика

Доказать, что \sum^N_{i=1} [\vec{r}_i, \vec{p}_i] = \sum^N_{i=1} [\vec{r}_{0i}, \vec{p}_{0i}] + [\vec{R}, \vec{p}], то есть показать, что момент импульса механической системы равен моменту импульса системы центра масс + [\vec{R}, \vec{p}]

Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Опубликовано в Теоретическая механика

Доказать, что T=T_0 + \frac{M \vec{\dot{R_0}}}{2} , то есть показать, что кинетическая энергия системы материальных точек равна кинетической энергии системы центра масс +  \frac{M \vec{\dot{R_0}}}{2}

Доказательство:

teor_termech1\sum \frac{m_i \vec{v}^2_i}{2} = \sum \frac{m_{i} \vec{v}_{0i}^2}{2} + \frac{M \vec{\dot{R_0}}^2}{2} , где v_{0i} - скорость центра масс, T_0 - энергия центра масс.

\vec{r_i} = \vec{r_0i} + \vec{R_0} => дифференцируем по времени: \vec{v_i} = \vec{v_{0i}} + \vec{\dot{R_0}} =>

\sum \frac{m_i \vec{v}^2_i}{2} = \sum \frac{m_{i}}{2} (\vec{v}_{i0} + \vec{\dot{R_0}})^2 = \sum \frac{m_{i} \vec{v}^2_{0i}}{2} + \sum \frac{1}{2} m_{i} \vec{\dot{R_0}}^2 + \left ( \sum m_{i} v_{0i}, \vec{R_0} \right )_{=0}

\vec{R_0} = 0  \vec{\dot{R_0}} = \frac{1}{M} \sum m_{i} \vec{v_{0i}} = 0 ч.т.д.

Опубликовано в Теоретическая механика

harm_osc_01Лагранжиан одномерный гармонического осциллятора L= \frac{m \dot{x}^2}{2} - \frac{kx^2}{2} H= \frac{p^2}{2m} + \frac{kx^2}{2} = E_0 = const \frac{p^2}{2mE} + \frac{x^2}{\frac{2E_0}{k}} = 1 - уравнение эллипса <=>  \frac{p^2}{b^2} + \frac{x^2}{a^2} = 1

Фазовый "портрет" одномерного гармонического осциллятора:

harm_osc_02

Покажем, что гамильтониан H есть интеграл движения:

\frac{dH}{dt} = \frac{ \partial H}{ \partial t} + \left \{ H, H  \right \} = 0 + \frac{\partial H}{ \partial p} \frac{\partial H}{ \partial x} - \frac{\partial H}{ \partial x} \frac{\partial H}{ \partial p} = 0 ч.т.д.

Здесь за  \left \{ H, H  \right \} принято обозначение скобки Пуассона.

Опубликовано в Теоретическая механика

Показать, что функция f(x, p, t) = x - \frac{pt}{m} есть интеграл движения для свободной материальной точки массы m.

В решении будем применять сокращение в виде скобки Пуассона \left \{ H,f  \right \} = \frac{ \partial H}{\partial p} \frac{ \partial f}{\partial x} - \frac{\partial H}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial p}

H = \frac{p^2}{2m} Необходимо показать, что \frac{df}{dt} \equiv 0 \frac{df}{dt} = - \frac{p}{m}

\left \{ H,f  \right \} = \frac{ \partial H}{\partial p} \frac{  \partial f}{\partial x} - \frac{\partial H}{\partial x} \frac{\partial  f}{\partial p} = \frac{p}{m} \cdot 1 - 0 то есть \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{ \partial t} + \left \{ H,f  \right \} =  - \frac{p}{m} + \frac{p}{m} = 0 \bigoplus ч.т.д.

Далее x - \frac{pt}{m} = x_0 x = x_0 + \frac{pt}{m} = x_0 + \frac{p_0 t}{m} = x_0 + \dot{x_0} t - закон равномерного движения, \dot{p} = \frac{\partial H}{\partial x} = 0 \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} x_0 = f = const

Опубликовано в Теоретическая механика

Найти гамильтониан движения заряда в постоянном и однородном магнитных полях E и H.

Лагранжиан L = \frac{mv^2}{2} + \frac{e}{c} ( \vec{A}, \vec{v} ) - e \phi, где с - скорость света, е - заряд, вектор-потенциал \vec{A} = \frac{1}{2} [ \vec{H}, \vec{r}], \vec{H} = rot \vec{A} = const, E = - grad \phi

\vec{p} = \frac{ \partial L}{ \partial \vec{v}} = m \vec{v} + \frac{e}{c} \vec{A}  \vec{v} = \frac{1}{m} ( \vec{p} - \frac{e}{c} \vec{A}) H = (\vec{p}, \vec{v}) - L = ( \vec{p}, \vec{p} - \frac{e}{c} \vec{A}) \frac{1}{m} - \frac{m}{2} \frac{1}{m^2} \left (  \vec{p} - \frac{e}{c} \vec{A} \right )^2 - \frac{e}{mc} \left ( \vec{A}, \vec{p} - \frac{e}{c} \vec{A} \right ) +

 + e \phi = \frac{1}{2m} \left ( \vec{p} - \frac{e}{c} \vec{A} \right )^2 + e \phi

Ответ: H = \frac{1}{2m} \left ( \vec{p} - \frac{e}{c} \vec{A} \right )^2 + e \phi{

Опубликовано в Теоретическая механика
<< Первая < Предыдущая 1 2 3 4 Следующая > Последняя >>
Страница 1 из 4

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]