- Определить закон движения частицы (Коткин, Сербо 1.9)

kalser.ru Теоретическая механика Определить закон движения частицы (Коткин, Сербо 1.9)
29.09.2012 11:51

Решение задачи из Сб. задач по классической механике авт. Коткин, Сербо Номер 1.9

U(x) = \frac{m \omega^2}{2} x^2 (1) \delta U = \alpha \frac{m x^3}{3} (2) \alpha - мало. Найти x_0(t) - ?

Решение:

kotsebo1-9

m {\ddot{x}} =- \frac{dU}{dx} = - m \omega^2 x при этом {\ddot{x}} + m \omega^2 x = 0 - уравнение гармонических колебаний с решением x = a sin (\omega t)

E = T+U = \frac{m}{2} \dot{x^2} + \frac{m \omega^2 x^2}{2} \dot{x} = a \omega cos \omega t

пусть \omega t_1 = \frac{\pi}{2} =>  E = \frac{m \omega^2}{2} a^2 Подставляем в первый интеграл движения: \delta t(x_0) = \sqrt{\frac{m}{2}} \frac{1}{2} \int_a{\frac{\alpha \frac{m}{3}x_0 dx_0}{\left (\sqrt{\frac{m \omega^2}{2}a^2 - \frac{m \omega^2}{2}x^2_0}\right )^3}} = ...=

 = \frac{\alpha}{6 \omega^3} \int_a^x{\frac{x^2_0 dx^2_0}{\left (  a^2 -x^2_0  \right)^{\frac{3}{2}}}} => y = \sqrt{a^2 -x^2_0} => x^2_0 = a^2 - y^2 ; dx^2_0 = -2ydy Берем интеграл посредством указанной выше замены переменных:

-2 \int{\frac{(a^2 - y^2) y dy}{y^3}} = -2 \left (  a^2 \int{\frac{dy}{y^2}} - \int{dy}  \right ) =

 = -2a^2 \cdot \frac{1}{y} + 2y = \frac{\alpha}{3 \omega^3} \left( \frac{a^2}{\sqrt{a^2 - x^2_0}} + \sqrt{a^2 - x^2_0}  \right) |_0^x =

= \frac{\alpha}{3 \omega^3} \left( \frac{a^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} + \sqrt{a^2 - x^2} - 2a \right)

x = asin \omega t - a \omega cos \omega t \frac{\alpha}{3 \omega^3} \cdot (\frac{a}{cos \omega t} + a cos \omega t - 2a)

Применяя тригонометрическое тождество a sin \alpha + b cos \alpha = \sqrt{a^2 + b^2} sin (\alpha + \frac{b}{a}) окончательно получаем следующее выражение для закона движения:

x = - \frac{a^2 \alpha}{2 \omega^2} - \frac{a^2 \alpha}{6 \omega^2} cos 2 \omega t + \sqrt{a^2 + \frac{4a^2 \alpha^2}{9 \omega^4}} \cdot sin(\omega t+ \frac{2a \alpha}{3 \omega^2})


Ответ: x = - \frac{a^2 \alpha}{2 \omega^2} - \frac{a^2 \alpha}{6 \omega^2} cos 2 \omega t + \sqrt{a^2 + \frac{4a^4 \alpha^2}{9 \omega^4}} \cdot sin(\omega t+ \frac{2a \alpha}{3 \omega^2})

Комментарии  

 
+4 # Guest 06.10.2012 14:55
Подробнее об общей идее решения см. решение подобной задачи Коткин Сербо 1.8
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]