- Вывести уравнение Лагранжа и определить закон движения (Ольховский 5.23)

kalser.ru Теоретическая механика Вывести уравнение Лагранжа и определить закон движения (Ольховский 5.23)
13.10.2012 07:23

Решение задачи из Сб. задач Ольховского по теоретической механике для физиков. Номер 5.23

Вывести уравнение Лагранжа и определить закон движения системы, состоящей из подвижного блока и двух тел с массами m1 и m2. Длина троcса l известна, ускорение свободного падения g

Решение:

число степеней свободы S = 3N-K в свою очередь N = 2 поэтому S = 6 - K => S = 2 - K, K = 1 => в итоге S = 1 olh523

Функция Лагранжа L = T-U = \frac{m_1 \dot{x^2_1}}{2} + \frac{m_2 \dot{x^2_2}}{2} + m_1gx_1 + m_2gx_2

Учтем условия связи:

F(x_1,x_2)=0

x_1+x_2-l=0 => x_2=l-x_1

Произведем выбор обобщенной координаты:

q=x_2 => x_2 = l-x_1=l-q

\dot{x_2} = - \dot{x_1} = - \dot{q} => \dot{x_1} = \dot{q}

и подcтавим в выражение для функции Лагранжа:

L = \frac{m_1 \dot{x^2_1}}{2} + \frac{m_2 \dot{x^2_1}}{2} + m_1gx_1 + m_2g (l-x_1)

Запишем уравнение Лагранжа: \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x_1}} - \frac{\partial L}{\partial x_1} = 0 получаем:

\frac{d}{dt} (m_1-m_2) \dot{x^2_1} + (m_1-m_2)g = 0 учтем, что \frac{d}{dt} (m_1-m_2) \dot{x^2_1} <=> \frac{m_1+m_2}{2} \dot{x^2_1}

L = \frac{m_1+m_2}{2} \dot{x^2_1} + (m_1-m_2)g x_1 + m_2gl продифференцируем уравнение Лагранжа по времени повторно:

\ddot{x_1} = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} g Получаем следующие законы движения:

x_1 = x_{01} + \dot{x}_{01}t + \frac{m_1-m_2}{2(m_!+m_2)}gt^2 ; при этом x_{01} = 0 ; \dot{x}_{01}t = 0; x_2=l-x_1 = l - \frac{m_1-m_2}{2(m_!+m_2)}gt^2

Второй способ (в механике Ньютона)

m_1 \ddot{x_1} = m_1g - T ; -m_2 \ddot{x_2} = m_2g - T, где Т - сила натяжения нити, разрешая систему уравнений, получаем:

m_1 \ddot{x_1} + m_2 \ddot{x_2} = (m_1-m_2)g , учитывая, что \ddot{x_2} = \ddot{x_1} получаем в итоге:

(m_1+m_2) \ddot{x_1} = (m_1-m_2)g  тот же самый ответ:

\ddot{x_1} = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} g

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]