- Найти для математического маятника функцию Лагранжа и уравнение Лагранжа

kalser.ru Теоретическая механика Найти для математического маятника функцию Лагранжа и уравнение Лагранжа
18.10.2012 15:24

Решение задачи из Сб. задач Ольховского по теоретической механике для физиков. Номер 5.23

Найти для математического маятника функцию Лагранжа и уравнение Лагранжа

Решение:olh_mat_mayat

число степеней свободы S = 3N-K в свою очередь N = 2, поэтому:

S = 6 - K => S = 2 - K, K = 1 => в итоге S = 1


Условие связи: x^2+y^2=l^2, обобщенная координата q = \phi

\left\{\begin{matrix}
y = l cos \phi&  & \\ 
 x = l sin \phi&  & 
\end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix}
\dot{x}= l \dot{\phi}cos \phi &  & \\ 
 \dot{y}=-l \dot{\phi}sin \phi &  & 
\end{matrix}\right.

Далее, получаем для кинетической энергии математического маятника:

T =  \frac{m}{2} (\dot{x^2} + \dot{y^2}) = \frac{m}{2} (l^2 \dot{\phi}^2 (sin^2 \phi + cos^2 \phi)) = \frac{ml^2}{2} \dot{\phi}^2

Потенциальная энергия маятника есть U = -mgy = -mgl cos \phi поэтому искомая функция Лагранжа для мат. маятника:

L = \frac{ml^2}{2} \dot{\phi}^2 + mgl cos \phi

Запишем уравнение Лагранжа \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{ \phi}} - \frac{\partial L}{\partial \phi} = 0

\frac{\partial L}{\partial \phi} = -mgl sin \phi \frac{\partial L}{\partial \dot{ \phi}} = ml^2 \dot{\phi} \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{ \phi}} = ml^2 \ddot{\phi}

После подстановки и сокращений, получаем: \ddot{\phi} + \frac{g}{l} sin \phi = 0, пусть \phi мало, тогда sin \phi \equiv \phi => \ddot{\phi} + \frac{q}{l} \phi =0 => \omega^2 = \frac{g}{l} - мы получили уравнение гармонических колебаний.

Ответ можно записать в следующем виде \phi = \phi_0 cos(\omega t + \alpha)

Дополнительно:

с учетом малости угла \phi можно записать:

x = l sin \phi = l sin(\phi_0 cos(\omega t + \alpha))  \equiv l \phi_0 cos(\omega t + \alpha) = x_0 cos (\omega t + \alpha)

y = l cos \phi = l cos (\phi_0 cos(\omega t + \alpha)) = l(1 - \frac{1}{2} \phi^2_0 cos^2 (\omega t + \alpha)) = l - \frac{l \phi^2_0}{2} cos^2(\omega t + \alpha) = l - \frac{l \phi^2_0}{4} (1+cos(2 \omega t + 2 \alpha)) = l - \frac{l}{4} \phi^2_0 - \frac{l \phi^2_0}{4} (2 \omega t + 2 \alpha )

, здесь l - \frac{l}{4} \phi^2_0 - точка, относительно которой происходит колебание математического маятника.

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]