- Найти закон движения материальной точки...

kalser.ru Теоретическая механика Найти закон движения материальной точки...
22.09.2012 04:55

Найти закон движения х(t) материальной точки в поле U(x) = - A x^4, если ее полная энергия нулевая (E_0 = 0)

E_0 = 0 \equiv \frac{m \dot{x}^2}{2} - Ax^4, A >0


Решение:

График потенциала:

zakon_graf_task, найти закон движения, теоретическая механика, решение задач по физике

Рассмотрим второй интеграл движения:

t = \sqrt{\frac{m}{2}} \int^x_{x_0}{\frac{dx}{\sqrt{E_0 - U(x)}}}  \begin{cases}
 &  y_1 = U(x) \\ 
 &  y_2 = E_0 
\end{cases}

всегда должно выполняться условие E_0 \geqslant U(x) (т. к. это область движения) => x - любое, в х = 0 - особая точка.

t = \sqrt{\frac{m}{2}} \int^x_{x_0}{\frac{dx}{\sqrt{Ax^4}}}

Интегрируя, получаем:

t = \sqrt{\frac{m}{2A}} \cdot \left ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}\right )

Чтобы найти закон движения, выражаем x

x(t) = \frac{x_0}{1 \mp \sqrt{\frac{2A}{m}} x_0 t}

Ответ: закон движения материальной точки x(t) = \frac{x_0}{1 \mp \sqrt{\frac{2A}{m}} x_0 t}

Дополнительно:

Найдем  \dot{x}, то есть выражение для скорости материальной точки:

\dot{x} = \pm \frac{\sqrt{\frac{2A}{m}}x_0^2}\left ({1\mp \sqrt{\frac{2A}{m}}x_0t}  \right )^2

1) Пусть x_0 > 0,\dot{x_0} > 0 тогда сила F:

F = - \frac{dU}{dx} = 4Ax^3

x(0) = x_0

\dot{x}(0) = \sqrt{\frac{2A}{m}}x_0^2

x(t) = \frac{x_0}{1 - \sqrt{\frac{2A}{m}} x_0 t}

\dot{x}(t) = \frac{\sqrt{\frac{2A}{m}} x_0^2}{(1 - \sqrt{\frac{2A}{m}} x_0 t)^2}

При t = t_1 => 1 - \sqrt{\frac{2A}{m}} x_0 t_1 = 0 => t_1 = \sqrt{\frac{m}{2A}} \cdot \frac{1}{x_0}

x(t_1) \to + \infty

2) Случай x_0 > 0,\dot{x_0} < 0

x(t) = \frac{x_0}{1 + \sqrt{\frac{2A}{m}}x_0t}

t \to + \infty, x(t) \to 0

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]