- Материальная точка движется в однородном поле тяжести по гладкой...

kalser.ru Теоретическая механика Материальная точка движется в однородном поле тяжести по гладкой...
08.10.2012 14:51

Решение задачи из Сб. задач Ольховского по теоретической механике для физиков. Номер 5.02

Материальная точка движется в однородном поле тяжести по гладкой параболе. Начальная скорость равна нулю. На какой высоте точка оторвется от параболы?

Решение:

Парабола гладкая, то есть жесткая => учитываем реакцию связей \vec{R}

Изображаем ситуацию задачи на рисунке:

olh52

Здесь ус - это искомая координата схода точки с траектории параболы.


y^2=ax x= \frac{1}{a} y^2 m \ddot{\vec{r}} = \vec{F_t} + \vec{R}

Уравнение связи при этом f(x,y,z)=y^2-ax=0 Распишем реакцию связи \vec{R}= \lambda \vec{\bigtriangledown} f = \lambda (-a, 2y, 0)

Перепишем уравнение движения m \ddot{\vec{r}} = m \vec{g} + \lambda (-a, 2y, 0)

m \vec{\ddot{r}} = m \vec{g} + \lambda (-a, 2y, 0) \left\{\begin{matrix} & m \ddot{x} = 0 - \lambda a}  \\  & m \ddot{y} = -mg + 2y \lambda \\ & y^2 - ax = 0 \end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix} & \ddot{x} =  - \frac{ \lambda a}{m}}  \\  & \ddot{y} = -g + 2 \frac{y \lambda}{m} \\  & y^2 - ax = 0  \end{matrix}\right

первая производная 2y \dot{y} - a \dot{x} = 0 вторая 2y \ddot{y} +2 \dot{y^2} - a \ddot{x} = 0

Разрешаем систему, распишем всё в одно уравнение:

2y(-g+2y \frac{\lambda}{m}) + 2 \dot{y^2} + a^2 \frac{\lambda}{m} = 0

\dot{y^2} = yg - 2y^2 \frac{\lambda}{m} - \frac{1}{2} a^2 \frac{\lambda}{m} (1)

Закон сохранения энергии для начального (0) и произвольного (1) моментов времени:

E=T_0+U_0=T_1+U_1 => T_1 - T_0 = - (U_0 - U_1) или, что одно и то же:

\frac{m}{2} (\dot{x^2}+\dot{y^2}) - 0 = + (mgy_0 - mgy) =mg(y-y_0) (2)

\dot{x} = \frac{2y}{a} \dot{y} подставим в (1), после сокращений получаем:

\dot{y^2} = \frac{2a^2 (y_0 - y)}{4y^2+a^2}g (3)

(1) = (3) то есть:

\frac{2a^2 g (y_0-y)}{4y^2+a^2} = yg -  \lambda \left (  \frac{2y^2}{m} + \frac{1}{2} \frac{a^2}{m}  \right )

 \lambda = \frac{2m}{4y^2+a^2}  \left ( yg - \frac{2a^2g(y_0-y)}{4y^2+a^2}  \right )

При y=y_c точка отрыва, \lambda \equiv 0 поэтому:

y_c g - \frac{2a^2g(y_0-y_c)}{4y^2_c+a^2} = 0 получаем кубическое уравнение:

y^3_c + \frac{3}{4} a y_c - \frac{1}{2} a^2 y_0 = 0 пусть a= \frac{2 \sqrt{2}}{3}; y_0 = \frac{15}{4} тогда:

y^3_c + \frac{2}{3} y_c - \frac{5}{3} = 0

y_c = 1 - корень, при y_0 = \frac{15}{4} - ответ

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]