- Материальная точка движется в центральном поле...

kalser.ru Теоретическая механика Материальная точка движется в центральном поле...
06.10.2012 09:51

Решение задачи из Сб. задач Ольховского по теоретической механике для физиков. Номер 2.34

Материальная точка движется в центральном поле U(r) = \frac{- \alpha}{r^6}. Полная энергия равна нулю E=0.

Найти траекторию движения.

Решение:

olh234

Запишем общее решение \phi = \sqrt{\frac{m}{2}} \int{\frac{L_0}{m} \frac{dr}{r^2 \sqrt{E-U_{eff}(r)}}}

Эффективный потенциал U_{eff}(r) = - \frac{\alpha}{r^6} + \frac{L^2_0}{2mr^2} = - \frac{\alpha}{r^6} \left ( 1 - {\frac{L^2_0}{2m \alpha}r^4 \right )

при этом выражение {\frac{L^2_0}{2m \alpha}r^4 = 0 в точке r_0 (см. рисунок к задаче)

Неравенство для нахождения области движения E - U_{eff}(r) \geqslant 0

откуда U_{eff}(r) \neqslant 0 => r \in [0;r_0] => движение финитное

Перепишем выражение для траектории:

\phi = \frac{L_0}{\sqrt{2m}} \int{\frac{r dr}{\sqrt{\alpha - \frac{r^2_0}{2m} r^4}}}

Имеем интеграл вида \int{\frac{dx}{ \sqrt{\alpha - \beta x^2}}} пусть x = r^2; \beta = \frac{L^2_0}{2m} тогда

\int{\frac{dx}{\sqrt{ \alpha - \beta x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \int{\frac{dx \sqrt{\frac{\beta}{2}}}{\sqrt{1 - \frac{\beta}{2}x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\beta}} arccos (x) \sqrt{\frac{\beta}{2}}

Таким образом \phi = \frac{1}{2} arccos(r^2 \sqrt{\frac{L^2_0}{2m \alpha}}) - ответ;

Найдем траекторию движения материальной точки в полярных координатах:

cos 2 \phi = r^2 \frac{L_0}{\sqrt{2m \alpha}} => r^2 = \frac{\sqrt{2m \alpha}}{L_0} cos 2 \phi

в декартовых координатах: x^2 + y^2 = \frac{\sqrt{2m \alpha}}{L_0} cos(2 arctg \frac{y}{x})

r^2 = \frac{\sqrt{2m \alpha}}{L_0} cos 2 \phi \geq 0 - лемниската Бернулли \phi \in [0;2 \pi]; 2 \phi \in [0; 4 \pi]

lemniscata


Комментарии  

 
+10 # Guest 06.10.2012 14:57
Получается, что в декартовых координатах мат. точка будет двигаться по лемнискате
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]