- Материальная точка движется в однородном поле тяжести...

kalser.ru Теоретическая механика Материальная точка движется в однородном поле тяжести...
07.10.2012 10:39

Решение задачи из Сб. задач Ольховского по теоретической механике для физиков. Номер 5.01

Материальная точка движется в однородном поле тяжести по гладкой неподвижной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Найти выражение для траектории движения и cилу реакции связи r(t);\vec{R}-?


Решение:

olh51

Уравнение связи для плоскости, построенной на рисунке: f(x,y,z) = Ax+By+Cz+D=0 при этом D=0

Уравнение плоскости в нормальном виде x \cdot cos (\alpha_1) + y \cdot cos (\alpha_2) + z \cdot cos (\alpha_3) = 0 с учетом \alpha_2 = \frac{\pi}{2} мы можем записать x \cdot cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) +z \cdot cos(\alpha) = 0

x \cdot sin (\alpha) + z \cdot cos(\alpha) = 0 => z + x \cdot tg (\alpha) = 0

Найдем силу реакции связей \vec{R}

f(x,y,z) = z + x \cdot tg (\alpha) = 0 \vec{\bigtriangledown} f = \left (  \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}  \right ) = (tg(\alpha),0,1)

m \ddot{\vec{r}} = m \vec{g} + \lamda \vec{\bigtriangledown} f перепишем это уравнение по компонентам:

\left\{\begin{matrix}
 & m \ddot{x} = 0+ \lambda tg(\alpha) \\ 
 & m \ddot{y} = 0+0=0\\ 
 & m \ddot{z} = -mg+\lambda\\
 & z+x \cdot tg(\alpha)=0
\end{matrix}\right.

\dot{z}+\dot{x} \cdot tg(\alpha) = 0 => \ddot{z}+\ddot{x} \cdot tg(\alpha) = 0 => m\ddot{z}+m\ddot{x} \cdot tg(\alpha) = 0

Суммируя два первых уравнения системы, после сокращений,получаем \lambda(1+tg^2 \alpha )=mg => \lambda = \frac{mg}{1+tg^2 \alpha}=mg \cdot cos^2 \alpha

\vec{R} =\lamda \vec{\bigtriangledown} f = mg \cdot cos^2 \alpha \left (  \frac{sin \alpha}{cos \alpha},0,1  \right ) = \left (  mg cos \alpha sin \alpha, 0, mg cos^2 \alpha \right ) =

= mg cos \alpha \left (  sin \alpha, 0, cos \alpha  \right )

Далее, для нахождения траектории, рассмотрим m \ddot{x} = 0+ \lambda tg \alpha = const => x \equiv x(t)= x_0 + \dot{x_0}t + \frac{\ddot{x}}{2}t^2

Закон сохранения энергии E_0 = T+U= \frac{m}{2} \left ( \dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2  \right )+ mgz

\dot{z} + \dot{x} tg \alpha = 0 dA=(\vec{F},d \vec{r})=mg \cdot dz => A=mgz

Пусть \dot{y}=0 то есть y=y_0 (вдоль оси OY движения не происходит), тогда:

\frac{m}{2} \left ( \dot{x}^2 +\dot{z}^2  \right )+ mgz = E_0

Приведем это выражени к виду, удобному для интегрирования:

\frac{m}{2} \left ( \dot{x}^2 +\dot{x}^2 tg \alpha  \right )+ mgz = E_0

\left (\frac{dx}{dt} \right )^2 \frac{m}{2} \left ( 1 + tg^2 \alpha  \right ) = E_0 - mgz

\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2}{m}} cos \alpha \sqrt{E_0 - mgz} z=-x tg \alpha

Беря интеграл:

\int_{t_0}^t dt = \int_{x_0}^x \sqrt{\frac{m}{2}} \frac{1}{cos \alpha} \frac{dx}{\sqrt{E_0 + mgx tg \alpha}}

и выражая x(t), мы получаем выражения для уравнения траетории.

Комментарии  

 
+8 # Guest 07.10.2012 17:05
Как взять интеграл вида показано в решении следующей задачи
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]