- Найти наименьшее расстояние, на которое сблизится частица...

kalser.ru Теоретическая механика Найти наименьшее расстояние, на которое сблизится частица...
07.10.2012 09:23

Решение задачи из Сб. задач по классической механике авт. Коткин, Сербо Номер 2.11

Найти наименьшее расстояние, на которое сблизится частица, налетающая из бесконечности со скоростью v0 и прицельным параметром ρ0, на другую, которая покоится. Потенциал задан уравнением U = - \frac{\alpha}{r}

Решение:

Эффективный потенциал U_{eff} (r) = - \frac{\alpha}{r} + \frac{ L_0}{2mr^2} Рассмотрим схему взаимодействия частиц:

ks211_2

Найдем минимальное расстояние r_{min} и обозначим его на графике потенциала:

ks211

E = T+U>0 - необходимо найти точку наименьшего сближения. E = \frac{m \dot{r^2}}{2} + U_{eff}(r)

Точка поворота есть \dot{r} = 0 => \frac{dr}{dt} = 0 <-- r=r(t)

\vec{v^2} = \dot{r^2} + r^2 \omega^2 T = \frac{m_1}{2} \vec{v^2_1} + \frac{m_2}{2} \vec{v^2_2} = \frac{M}{2} (\vec{v_1} - \vec{v_2})^2 + \frac{m_1+m_2}{2} \dot{R^2} - при введении системы центра масс, далее для энергии получаем:

E=\frac{M}{2} \vec{v^2_0} = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} \frac{1}{2}\vec{v^2_0} = -\frac{\alpha}{r} + \frac{L^2_0}{2 \mu r^2}

|\vec{L_0}| = |r|\cdot |\vec{v}| sin \phi = \rho_0 v_0 \mu подставляем в выражение для энергии:

E(r)=\frac{M}{2}v^2_0 = -\frac{\alpha}{r} + \frac{L^2_0}{2 \mu r^2} то есть корни уравнения -\frac{\alpha}{r} + \frac{L^2_0}{2 \mu r^2} = 0 и будут минимально возможными расстояниями r_1;r_2 <=> r_{min}

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]