- Ольховский 5.26

19.10.2012 14:38

Решение задачи из Сб. задач Ольховского по теоретической механике для физиков. Номер 5.26

Выбираем обобщенную координатуolh526 q = x

T= \frac{m}{2} \dot{x}^2 U = \frac{\kappa}{2} \Delta l^2

Удлинение пружины можно представить в виде:

\Delta l = l - l_0 = \sqrt{h^2 +x^2 -l_0}

U= \frac{\kappa}{2} \left ( \sqrt{h^2 + x^2} - l_0} \right )^2

Запишем уравнение Лагранжа для данного в задаче случая:

L= \frac{m \dot{x}^2}{2} - \frac{\kappa}{2} \left ( \sqrt{h^2 + x^2} - l_0} \right )^2

Найдем явный вид для функции Лагранжа:

\frac{\partial L}{\partial x} = - \kappa (\sqrt{h^2+x^2} -l_0) \cdot \frac{1}{2} 2x = - (\sqrt{h^2+x^2} - l_0)x \kappa}

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial x} = m \ddot{x} => m \ddot{x} + \kappa (\sqrt{h^2+x^2} - l_0)x = 0

Если h>l_0, то колебания относительно точки 0. В области, где x<<h m \ddot{x} + \kappa (h - l_0)x = 0

 \ddot{x} + \kappa \frac{h-l_0}{m}x = 0

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]