- Ольховский 5.40

20.10.2012 04:08

Решение задачи из Сб. задач Ольховского по теоретической механике для физиков. Номер 5.40

Для данной системы имеем N = 2 точек => число степеней свободы S = 3N - (число связей) => S = 2

olh540

\left\{\begin{matrix}
\vec{r_1} =(0,y_1,0) &  & \\ 
\vec{r_2} =(x_2,y_2,0) &  & 
\end{matrix}\right. производим выбор обобщенных координат q1 и q2:

q_1=y_1=y q_2 = \phi

Запишем функцию Лагранжа в декартовых координатах:

L=T-U= \frac{m_1 (\vec{\dot{r_1}})^2}{2} + \frac{m_2 (\vec{\dot{r_2}})^2}{2} - \left ( \frac{k}{2}(y+l_0)^2+m_1gy_1+m_2gy_2 \right )=

\left\{\begin{matrix}
\vec{\dot{r_1}} =(0,\dot{y_1},0) &  & \\ 
\vec{\dot{r_2}} =(\dot{x_2},\dot{y_2},0) &  & 
\end{matrix}\right.

=\frac{m_1}{2} \dot{y_1}^2 + \frac{m_2}{2} (\dot{x_2}^2 + \dot{y_2}^2) -  \frac{k}{2}(y+l_0)^2 - m_1gy_1 - m_2gy_2

Связь между декартовыми и обобщенными координатами:

\vec{r_i} = \vec{r_i}(y, \phi) \left\{\begin{matrix}
x_2=l sin \phi &  & \\ 
y_2=y+l cos \phi &  & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}
\dot{x_2}=l \dot{\phi} cos \phi &  & \\ 
\dot{y_2}=\dot{y}-l \dot{\phi} sin \phi &  & 
\end{matrix}\right.

L= \underset{|------------T-------------|}{\frac{m_1}{2} \dot{y}^2 + \frac{m_2}{2} (l^2 \dot{\phi}^2 + \dot{y}^2 - 2 \dot{y} \dot{\phi} l sin \phi}) - \frac{k}{2}(y+l_0)^2 - m_1gy_1 - m_2gy_2

После сокращений, для функции Лагранжа, получаем:

L = \frac{m_1+m_2}{2} \dot{y}^2 + \frac{m_2}{2} l^2 \dot{\phi}^2 - m_2 \dot{\phi} \dot{y} l sin \phi - \frac{k}{2}(y+l_0)^2 - (m_1+m_2)gy - m_2gl cos \phi

Уравнение Лагранжа по координате y:

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} - \frac{\partial L}{\partial y} = 0 P_y = \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = (m_1+m_2) \dot{y} - m_2 \dot{\phi} l sin \phi \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = (m_1+m_2) \ddot{y} - m_2 \ddot{\phi} l sin \phi - m_2 \dot{\phi}^2 l cos \phi

\frac{\partial L}{\partial y} = -k (y+l_0) - (m_1+m_2)y

Собирая все слагаемые вместе, в итоге получаем выражение для функции Лагранжа:

(m_1+m_2) \ddot{y} - m_2 \ddot{\phi} l sin \phi - m_2 \dot{\phi} l cos \phi + k(y+l_0) + (m_1+m_2)g = 0

Уравнение Лагранжа по координате \phi:

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} - \frac{\partial L}{\partial \phi} = 0
P_{\phi} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = m_2 \dot{\phi} l^2 - m_2 \dot{y} l sin \phi

m_2 \ddot{\phi}l - m_2 \ddot{y} l sin \phi - m_2 \dot{y} \dot{\phi} l cos \phi - m_2 \dot{y} \dot{\phi} l cos \phi + m_2 g l sin \phi = 0

Если \phi не изменяется, тогда:

(m_1+m_2) \ddot{y} + k (y+l_0) - (m_1+m_2)y=0, то есть в колебаниях участвует общая масса m_1+m_2

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]