- Ольховский 5.51

20.10.2012 10:04

Решение задачи из Сб. задач Ольховского по теоретической механике для физиков. Номер 5.51

Для данной системы число степеней свободы S = 3N - (число связей) => S = 6, при этом саму пружину в качестве связи мы не рассматриваем.

olh551В качестве обобщенных координат q_1;q_2 можно выбрать радиусы векторы \vec{r_1}, \vec{r_2} (см. рисунок к задаче)

При подобном выборе обобщенных координат лагранжиан системы будет выражен в декартовых координатах:

L=T-U= \frac{m_1 (\vec{\dot{r_1}})^2}{2} + \frac{m_2 (\vec{\dot{r_2}})^2}{2} -  \frac{k}{2}(|\vec{r_2}-\vec{r_1}| -l_0)^2 - m_1(\vec{g},\vec{r_1}) - m_2(\vec{g},\vec{r_2})

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{r_i}} - \frac{\partial L}{\partial r_i} = 0

(q_1,q_2)=(\vec{r_1}, \vec{r_2}) \to (\vec{R}, \vec{r}) здесь \vec{R} - радиус-вектор центра масс:

\vec{R} = \frac{m_1 \vec{r_1}+m_2 \vec{r_2}}{m_1m_2} , \vec{r} = \vec{r_2} - \vec{r_1}

\left\{\begin{matrix} \vec{r_1} =\vec{R} + \vec{r_1'} &  & \\ \vec{r_2} =\vec{R} + \vec{r_2'} &  & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} m_1 \vec{r'_1} + m_2 \vec{r'_2} = 0 &  & \\ \vec{r} =\vec{r_2}-\vec{r_1} = \vec{r'_2}-\vec{r'_1} &  & \end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix} \vec{r'_1} = - \frac{m_2}{m_1+m_2} \vec{r} &   & \\ \vec{r'_2} =  \frac{m_1}{m_1+m_2} \vec{r} &   & \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} \vec{r'_1} = \vec{R} - \frac{m_2}{m_1+m_2} \vec{r} &   & \\ \vec{r'_2} = \vec{R} + \frac{m_1}{m_1+m_2} \vec{r} &   & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} \dot{\vec{r'_1}} = \dot{\vec{R}} - \frac{m_2}{m_1+m_2} \dot{\vec{r}} &   & \\ \dot{\vec{r'_2}} = \dot{\vec{R}} + \frac{m_1}{m_1+m_2} \dot{\vec{r}} &   & \end{matrix}\right.

Таким образом, лагранжиан для данной системы:

L = \frac{m_1+m_2}{2} \dot{\vec{R^2}} + \left (  \frac{m_1}{2} \frac{m^2_2}{(m_1+m_2)^2} + \frac{m_2}{2} \frac{m^2_1}{(m_1+m_2)^2}  \right ) \cdot \vec{\dot{r^2}} - \frac{k}{2} (|\vec{r}| - l_0)^2 - (m_1+m_2) (\vec{g}, \vec{R})

Приведенная масса системы в этом уравнении обозначена как \mu\frac{1}{2} \mu = \left (  \frac{m_1}{2} \frac{m^2_2}{(m_1+m_2)^2} + \frac{m_2}{2} \frac{m^2_1}{(m_1+m_2)^2}  \right ) \cdot \vec{\dot{r^2}}

Запишем уравнение Лагранжа \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{R}} - \frac{\partial L}{\partial R} = 0

(m_1+m_2) \ddot{R} + (m_1+m_2) \vec{g} = 0

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} - \frac{\partial L}{\partial r} = 0olh551_2

При этом \frac{\partial L}{\partial \vec{r}} = \frac{\partial L}{\partial |r|} \frac{\partial |\vec{r}|}{\partial \vec{r}} , \vec{n}_r = \frac{\partial |\vec{r}|}{\partial \vec{r}} - задает направление, систему можно представить аналогией, представленной на рисунке, таким образом:

\mu \ddot{\vec{r}} + k (|r| - l_0) \vec{n}_r = 0


(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]