- Ольховский 6.11 (На концах трубы находятся заряды Q)

kalser.ru Теоретическая механика Ольховский 6.11 (На концах трубы находятся заряды Q)
21.10.2012 06:28

Решение задачи из Сб. задач Ольховского по теоретической механике для физиков. Номер 6.09

На концах трубы находятся заряды Q, найти частоту малых колебаний \omega

Решение:

olh611

sign(lQ) > 0 - только в этом случае будут возможны колебания.

Лагранжиан системы L = \frac{m \dot{x^2}}{2} - U_1(x)- U_2(x)

U_1+U_2= \frac{lQ}{a-x} + \frac{lQ}{a+x} = lQ \left (  \frac{1}{a-x} + \frac{1}{a+x}  \right ) = lQ \left (  \frac{2a}{a^2-x^2}  \right )

U'(x) =lQ \left (  - \frac{-2x}{(a^2-x^2)^2}  \right ) 2a = 0 => x = 0 U''(x)|_{x=0} =2alQ \frac{2(a^2-x^2) - 4x(a^2-x^2)(-2x)}{(a^2-x^2)^4} =

=4alQ \frac{a^2-x^2 + 4x^2}{(a^2-x^2)^3}|_{x=0} = \frac{4lQ}{a^3}

Таким образом, для частоты малых колебаний зарядов мы получаем: \omega^2 = \frac{k}{m} = \frac{4lQ}{a^3} > 0, если lQ>0

Второй способ, по формуле Тейлора:

U(x)=2alQ \frac{1}{a^2-x^2} \approx \frac{2alQ}{a^2}(1 + \frac{x^2}{a^2}) \approx  \frac{2lQ}{a^3} x^2 \equiv \frac{kx^2}{2} k = \frac{4lQ}{a^3}

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]