- Найти частоту малых колебаний материальной точки массы m на пружине.

kalser.ru Теоретическая механика Найти частоту малых колебаний материальной точки массы m на пружине.
19.10.2012 15:18

Найти частоту малых колебаний материальной точки массы m на пружине. Сила натяжения пружины \vec{F}, длина пружины l =h

Решение:

malk

Пусть \delta l - малое удлинение пружины, тогда:

U(x) = F \delta l = F (\sqrt{l^2+x^2} -l) U'(x)=F \frac{1}{2} 2x \frac{1}{\sqrt{l^2+x^2}}= Fx \frac{1}{\sqrt{l^2+x^2}}= 0

Рассмотрим точку x = 0 => потенциал U(x) имеет минимум в точке х = 0.

U''(x)=F \frac{\sqrt{l^2+x^2} -x \frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}}}{l^2+x^2}=\frac{Fl^2}{(l^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}|_{x=0} = \frac{F}{l}

k = \frac{F}{l} => \omega^2 = \frac{F}{lm} => x=x_0 cos \left ( \sqrt{\frac{F}{lm}}t + \alpha \right )

Второй случай: по формуле Тейлора

U(x) = F \delta l = F (\sqrt{l^2+x^2} -l) = Fl \left ( \sqrt{1+ \frac{x^2}{l^2}} - 1  \right ) =

 = Fl(1 + \frac{1}{2} \frac{x^2}{l^2} - 1 + ... ) \approx \frac{F}{2l} x^2 = \frac{kx^2}{2} => k = \frac{F}{l}

при разложении учтено, что \sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x^2 + ..., при малых х.

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]