- Доказательство теоремы Вириала

kalser.ru Теоретическая механика Доказательство теоремы Вириала
28.10.2012 04:26

Пусть система из N материальных точек совершает финитное движение в потенциальном поле U(z), где U(z) является однородной функцией от r степени "k". Тогда \bar{T} = \frac{k}{2} \bar{U}, где \bar{T},\bar{U} - средние значения кинетической и потенциальной энергий, соответственно.

Доказательство:

Из теоремы Эйлера об однородной функции, можем записать \sum^S_{i=1} \frac{ \partial f}{\partial x_i} x_i = kf f( \alpha x) = \alpha^k f(x)

Рассмотрим кинетическую энергию T = \sum^N_{i=1} \frac{m_i v^2_i}{2} \rightarrow k=2 - однородная функция степени k. U( \alpha r) = \alpha^k U(r)

Запишем условие теоремы Эйлера для кинетической энергии:

2T = \sum^N_{i=1} \frac{ \partial T}{\partial v_i} \vec{v_i} = \sum^N_{i=1} (\vec{p}_i, \vec{v}_i) = \sum^N_{i=1} \frac{d}{dt} \left [ (\vec{p_i}, \vec{r_i}) - (\vec{\dot{p_i}}, \vec{\dot{r_i}}) \right ]

2T =  \sum^N_{i=1} \frac{d}{dt}   (\vec{p_i}, \vec{r_i}) + \left ( \frac{ \partial U}{\partial r_i}, r_i  \right ) (1)

Усредним уравнение (1): пусть f=f(t) = \frac{d}{dt} F(t), тогда \bar{f} = \lim_{T \to \infty } \frac{1}{T} \int^T_0 f(t) dt = \lim_{T \to \infty } \left ( \frac{1}{T} F(t)  \right )|^T_0 => \bar{f}= \lim_{T \to \infty } \frac{1}{T} (F(T) - F(0))

пусть |F(t)| < \infty t \in [0; + \infty] => 2 \bar{T} =  \sum^N_{i=1} \left [ \frac{d}{dt}   (\vec{p_i}, \vec{r_i})   \right ]_{=0} + \left ( \frac{ \partial U}{\partial r_i}, r_i  \right ) т. к. движение финитно, то |\vec{p}_i| и |\vec{r}_i|< \infty

2 \bar{T} =  \sum^N_{i=1} \left ( \frac{ \partial U}{\partial r_i}, r_i  \right ) = k \bar{U} ч.т.д.

Примеры:

1)harm_osc_01 Пусть U(r) = \frac{\alpha}{2} r^2 ; k=2 => \bar{T}=\bar{U} => \frac{kx^2}{2} то есть система представляет собой математический маятник (осциллятор)

2) Пусть U(r) =  - \frac{\alpha}{r} k= - 1; \: \! \bar{T}= - \frac{1}{2} \bar{U}

3) E=T+U усредняем => \bar{E}= \overline{T+U} = E то есть \bar{E} = \bar{T} + \frac{2}{k} \bar{T} = \frac{k+2}{k} \bar{T}

(новое окно)

Как ввести формулу
Работает только для формы "Добавить комментарий" к материалу:
будет [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?t^2[/img]